Aplique o teste da Razão ou da Raiz e conclua se
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da razão ou da raiz. O conteúdo é séries numéricas e vamos aplicar o teste da raiz, que nos diz que se
então a série converge absolutamente.
Passo 2
O teste da raiz afirma que temos que calcular
, onde
, e depois tomar o limite quando
.
Passo 3
Calculando a raiz
-ésima de
:
Passo 4
Agora tomamos o limite:
Como o crescimento de
domina o de
, esse limite é zero. Formalmente dá para usar L’Hôpital ou observar que
para qualquer
.
Passo 5
Encontramos
. Pelo teste da raiz, isso implica que a série converge absolutamente, logo a série é convergente.
Resposta
A série converge absolutamente pelo teste da raiz, pois o limite da raiz
-ésima dos termos dá
.