Aplique o teste da Razão ou da Raiz e conclua se sumn=1^+infty (ln n)^nn^n2 é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^+infty (ln n)^nn^n/2 usando o teste da razão ou da raiz. O conteúdo é séries numéricas e vamos aplicar o teste da raiz, que nos diz que se L=limsupntoinftyraiz[n]|an|<1 então a série converge absolutamente.

Passo 2

O teste da raiz afirma que temos que calcular raiz[n]an, onde an=(ln n)^nn^n/2, e depois tomar o limite quando ntoinfty.

Passo 3

Calculando a raiz n-ésima de an:
raiz[n]an =raiz[n](ln n)^nn^n/2 =ln nn^1/2

Passo 4

Agora tomamos o limite:
L=limntoinftyln nraiz n
Como o crescimento de raiz n domina o de ln n, esse limite é zero. Formalmente dá para usar L’Hôpital ou observar que ln n=o(n^alpha) para qualquer alpha>0.

Passo 5

Encontramos L=0<1. Pelo teste da raiz, isso implica que a série converge absolutamente, logo a série é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da raiz, pois o limite da raiz n-ésima dos termos dá 0<1.

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