Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdot cdots cdot 2 n. Faça o que se pede:
a) Escreva an+1 em função de an;
b) Mostre que an é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdots cdot 2n
Esse tipo de sequência envolve produtos de números ímpares no numerador e pares no denominador. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender como cada termo se relaciona com o anterior e como a sequência se comporta conforme $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), que pede para escrever $ a_{n+1} $ em função de $ a_{n} $. Vamos pensar em como o termo seguinte é formado a partir do termo atual.
Observando a fórmula de $ a_{n} $, para encontrar $ a_{n+1} $, substituímos $ n $ por $ n+1 $:
an+1

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2n cdot 2(n+1)
Perceba que o numerador de $ a_{n+1} $ é o numerador de $ a_{n} $ multiplicado por $ (2n+1) $ e o denominador é o denominador de $ a_{n} $ multiplicado por $ 2(n+1) $.

Passo 4

Então, podemos escrever $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $:
an+1
Esse é o relacionamento que conecta um termo ao próximo na sequência.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que quer que a gente mostre que a sequência $ {a_{n}} $ é convergente. Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente: ela se aproxima de um certo número à medida que $ n $ cresce.

Passo 6

Observando a expressão de $ a_{n} $, vemos que cada termo é menor que o anterior, já que:
an
Isso mostra que $ a_{n+1} < a_{n} $, ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 7

Além disso, percebemos que todos os termos de $ a_{n} $ são positivos, já que estamos multiplicando números positivos no numerador e no denominador. Então, temos uma sequência que é decrescente e limitada abaixo por zero.

Passo 8

No caso, uma sequência que é decrescente e limitada abaixo sempre converge, segundo o Teorema Monotônico. Portanto, a sequência $ {a_{n}} $ é de fato convergente.

Resposta

a) $ a_{n+1} = a_{n} \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} $
b) A sequência $ {a_{n}} $ é convergente.

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