Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
a) Escreva
em função de
;
b) Mostre que
é convergente.
a) Escreva
b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por:
Esse tipo de sequência envolve produtos de números ímpares no numerador e pares no denominador. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender como cada termo se relaciona com o anterior e como a sequência se comporta conforme $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a), que pede para escrever $ a_{n+1} $ em função de $ a_{n} $. Vamos pensar em como o termo seguinte é formado a partir do termo atual.
Observando a fórmula de $ a_{n} $, para encontrar $ a_{n+1} $, substituímos $ n $ por $ n+1 $:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Perceba que o numerador de $ a_{n+1} $ é o numerador de $ a_{n} $ multiplicado por $ (2n+1) $ e o denominador é o denominador de $ a_{n} $ multiplicado por $ 2(n+1) $.
Passo 4
Então, podemos escrever $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $:
Esse é o relacionamento que conecta um termo ao próximo na sequência.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), que quer que a gente mostre que a sequência $ {a_{n}} $ é convergente. Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente: ela se aproxima de um certo número à medida que $ n $ cresce.
Passo 6
Observando a expressão de $ a_{n} $, vemos que cada termo é menor que o anterior, já que:
Isso mostra que $ a_{n+1} < a_{n} $, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 7
Além disso, percebemos que todos os termos de $ a_{n} $ são positivos, já que estamos multiplicando números positivos no numerador e no denominador. Então, temos uma sequência que é decrescente e limitada abaixo por zero.
Passo 8
No caso, uma sequência que é decrescente e limitada abaixo sempre converge, segundo o Teorema Monotônico. Portanto, a sequência $ {a_{n}} $ é de fato convergente.
Resposta
a) $ a_{n+1} = a_{n} \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} $
b) A sequência $ {a_{n}} $ é convergente.