Diz-se que uma função
, definida no intervalo
, tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem
de todo intervalo
é um intervalo. Mostre que a função
, dada por
se
e
, tem a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua.
Passo 1
Vamos mostrar que a função
dada por
se
e
tem a propriedade do valor intermediário (ou seja, a imagem de qualquer intervalo é um intervalo), ainda que seja descontínua em
.
Passo 2
Resumo do enunciado: a matéria aqui é a propriedade de Darboux (valor intermediário). Precisamos provar que para todo intervalo
, o conjunto
é um intervalo em
.
Passo 3
Caso 1 – Intervalos que não contêm
: se
, então
é composição de funções contínuas em
, logo contínua em
. Sabemos que a imagem de um intervalo por função contínua é um intervalo. Portanto,
é intervalo.
Passo 4
Caso 2 – Intervalos que contêm
: seja
um intervalo com
. Mostraremos que para todo
existe
tal que
.
Primeiro, fixado , resolvemos
Primeiro, fixado
Como
tem soluções gerais
vem
ou seja
para
.
Passo 5
Agora note que
quando
. Logo, como
é um intervalo que contém
, existe
grande o suficiente tal que, para
, temos
. Para esses
, vale
. Assim todo
é atingido por
em
.
Passo 6
Concluímos que para qualquer intervalo
com
, a imagem
contém o conjunto
. Além disso, pelos valores em pontos distantes de 0 obtemos os valores
e
nos extremos de
, de modo que a união de
com esses valores continua sendo um intervalo. Portanto em todos os casos
é um intervalo, o que prova a propriedade do valor intermediário mesmo havendo a descontinuidade em
.
Resposta
A função f possui a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua em x = 0.