Diz-se que uma função f: I R, definida no intervalo I, tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem f(J) de todo intervalo J subset I é um intervalo. Mostre que a função f: R R, dada por f(x)=sen(1 / x) se x neq 0 e f(0)=0, tem a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua.

Passo 1

Vamos mostrar que a função f:RtoR dada por f(x)=sin(1/x) se xneq0 e f(0)=0 tem a propriedade do valor intermediário (ou seja, a imagem de qualquer intervalo é um intervalo), ainda que seja descontínua em x=0.

Passo 2

Resumo do enunciado: a matéria aqui é a propriedade de Darboux (valor intermediário). Precisamos provar que para todo intervalo JsubsetR, o conjunto f(J) é um intervalo em R.

Passo 3

Caso 1 – Intervalos que não contêm 0: se 0notin J, então f(x)=sin(1/x) é composição de funções contínuas em J, logo contínua em J. Sabemos que a imagem de um intervalo por função contínua é um intervalo. Portanto, f(J) é intervalo.

Passo 4

Caso 2 – Intervalos que contêm 0: seja J um intervalo com 0in J. Mostraremos que para todo yin[-1,1] existe xin J tal que f(x)=y.
Primeiro, fixado yin[-1,1], resolvemos
sinl(1/xr)=y
Como sin t=y tem soluções gerais
t = (-1)^karcsin(y)+kpi,
vem
1/x = (-1)^karcsin(y)+kpi
ou seja
xk = 1(-1)^karcsin(y)+kpi,
para kinZ.

Passo 5

Agora note que xkto0 quando |k|toinfty. Logo, como J é um intervalo que contém 0, existe K grande o suficiente tal que, para |k|>= K, temos xkin Jsetminus0. Para esses xk, vale f(xk)=sin(1/xk)=y. Assim todo yin[-1,1] é atingido por f em J.

Passo 6

Concluímos que para qualquer intervalo J com 0in J, a imagem f(J) contém o conjunto [-1,1]. Além disso, pelos valores em pontos distantes de 0 obtemos os valores f(a) e f(b) nos extremos de J=[a,b], de modo que a união de [-1,1] com esses valores continua sendo um intervalo. Portanto em todos os casos f(J) é um intervalo, o que prova a propriedade do valor intermediário mesmo havendo a descontinuidade em 0.

Resposta

A função f possui a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua em x = 0.

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