Aplique a Transformada de Fourier na função
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede para aplicar a Transformada de Fourier e determinar
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
para . -
para . - A variável de frequência é
(assume-se ).
O objetivo é calcular explicitamente.
Passo 2
Escolher e declarar a convenção da Transformada de Fourier que vamos usar (isso é necessário para saber o sinal no exponencial). Vou usar a convenção mais comum em engenharia e análise:
onde
é a unidade imaginária (
). Essa fórmula transforma uma função do tempo
numa função de frequência
.
Passo 3
Usar a definição da transformada com a função dada. Como
para
, a integral de
a
reduz-se ao intervalo
. Assim
Juntando os exponenciais temos um único expoente:
Portanto
Passo 4
Avaliar a integral imprópria. Sabemos a integral básica (quando convergente):
onde
denota a parte real de
. No nosso caso
. A parte real de
é
, logo a integral converge e podemos aplicar a fórmula. Para ser bem explícito, pode-se calcular como limite:
Como
, tem-se
quando
. Portanto o limite vale
.
Passo 5
Concluir o valor da transformada e escrever em formas úteis. Assim obtemos
É útil também separar em parte real e imaginária (ou escrever em forma com denominador real), multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Dessa forma a parte real é
e a parte imaginária é
. Também a magnitude e fase são
Essas expressões ajudam a interpretar como a função decai em frequência e qual é o desvio de fase.
Passo 6
Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para sinais causais do tipo
com
(onde
é a função degrau de Heaviside), a Transformada de Fourier pela convenção
é
No nosso problema
, daí o resultado
. É uma fórmula muito útil para decorar — sempre verificar que
para garantir convergência.