O que é “simetria par” e “simetria ímpar” de uma função e como essas características podem ajudar a determinar os coeficientes da Série de Fourier?

Passo 1

O que você perguntou: quer saber o que são “simetria par” e “simetria ímpar” de uma função e como isso ajuda a determinar os coeficientes da Série de Fourier. Aqui vou:
  • definir com clareza o que é função par e função ímpar, com exemplos;
  • mostrar propriedades úteis (especialmente integrais em intervalos simétricos);
  • escrever as fórmulas padrão dos coeficientes da Série de Fourier em [-L,L];
  • explicar, passo a passo, como a paridade anula certos coeficientes e simplifica os outros;
  • dar dois exemplos concretos (uma função ímpar \,f(x)=x em [- \pi,\pi] e uma função par \,f(x)=x^2 em [- \pi,\pi]) calculando os coeficientes detalhadamente;
  • comentar sobre séries de meio‑intervalo (extensão par/ímpar) e dicas práticas para prova.

Passo 2

Definição e exemplos (simetria).
  • Uma função f é dita par se, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
Exemplos: f(x)=x^2, f(x)=\cos x, constantes.
  • Uma função f é dita ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x)=-f(x).
Exemplos: f(x)=x, f(x)=\sin x.
  • Observações úteis:
    • A soma de duas pares é par; a soma de duas ímpares é ímpar; a soma de par com ímpar não tem paridade simples.
    • O produto de duas pares é par; produto de duas ímpares é par; produto de par com ímpar é ímpar.
    • Essas propriedades ajudam a prever a paridade de um integrando (importante para Fourier).

Passo 3

Propriedade das integrais em intervalos simétricos (ferramenta chave).
  • Se g é função ímpar e integrável em [-L,L] então
\int_{-L}^{L} g(x)\,dx = 0.
Prova rápida: usando a substituição u=-x,
\int_{-L}^{L} g(x)\,dx = \int_{L}^{-L} g(-u)\,(-du) = \int_{-L}^{L} (-g(u))\,du = -\int_{-L}^{L} g(u)\,du,
logo a integral é zero.
  • Se g é par então
\int_{-L}^{L} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{L} g(x)\,dx.
Isto é útil porque muitas integrais de Fourier reduzem a integrar apenas em [0,L] e com fator 2.

Passo 4

Fórmulas da Série de Fourier em [-L,L] (padrão).
Para função f com período 2L (ou definida em [-L,L]) a expansão é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right).
Os coeficientes são
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad n=0,1,2,\dots
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
(Aqui a_0 segue a mesma fórmula; na série aparece \tfrac{a_0}{2}.)

Passo 5

Como a paridade simplifica esses coeficientes — caso função par.
  • Suponha f par: f(-x)=f(x).
  • Observe que \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) é função par e \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) é função ímpar.
  • Então f(x)\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) é produto de duas pares → par. Logo
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • E f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) é produto de par por ímpar → ímpar, então
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} \text{(ímpar)}\,dx = 0.í
  • Para a_0 (média),
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
Resumo prático: função par → apenas termos com cosseno, os termos com seno desaparecem; cálculos feitos em [0,L] com fator 2.

Passo 6

Como a paridade simplifica — caso função ímpar.
  • Suponha f ímpar: f(-x)=-f(x).
  • Produto f(x)\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) = ímpar × par → ímpar ⇒
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} \text{(ímpar)}\,dx = 0 \quad\text{para todo }n\ge 0.í
Em particular a_0=0.
  • Produto f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) = ímpar × ímpar → par ⇒
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Resumo prático: função ímpar → apenas termos com seno; os coeficientes podem ser calculados integrando de 0 a L com fator 2.

Passo 7

Exemplo 1 (índice completo, passo a passo): f(x)=x em [- \pi,\pi] (função ímpar).
  • Primeiro reconheço que f é ímpar, logo a_0=0 e a_n=0 para todo n.
  • Calcular b_n. Aqui L=\pi, então
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Como x\sin(nx) é par (ímpar×ímpar), uso a redução:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
  • Calculo da integral por partes: seja u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
O termo com \sin(n\pi) some ao integrar o segundo termo, mais diretamente nota-se
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} + \frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n^2} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}.
  • Portanto
b_n=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = -\frac{2(-1)^n}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
  • A série de Fourier (no sentido usual) fica
x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx),\qquad x\in(-\pi,\pi).

Passo 8

Exemplo 2 (índice completo): f(x)=x^2 em [- \pi,\pi] (função par).
  • Reconheço f par, logo b_n=0 para todo n e
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx.
  • Calculo a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}.
Logo o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi^2}{3}.
  • Calculo a_n (integração por partes duas vezes). Primeiro:
\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx
use u=x^2, dv=\cos(nx)\,dx du=2x\,dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx = \left.\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} - \frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
O primeiro termo vale zero porque \sin(n\pi)=0. Usando o resultado do Passo 7 para \int_0^\pi x\sin(nx)\,dx = -\dfrac{\pi(-1)^n}{n}, obtemos
\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx = -\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2\pi(-1)^n}{n^2}.
  • Então
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} = \frac{4(-1)^n}{n^2}.
  • A série é
x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx),\qquad x\in(-\pi,\pi).

Passo 9

Séries de meio-intervalo (útil em problemas práticos).
  • Se a função f está só em [0,L] e deseja-se uma série em [0,L], uma técnica padrão é estender f para [-L,L]:
    • extensão par → obtém-se uma série de cossenos (série de Fourier tipo cosseno; apenas a_n aparecem);
    • extensão ímpar → obtém-se uma série de senos (série de Fourier tipo seno; apenas b_n aparecem).
  • Fórmulas práticas (extensão par): para função f em [0,L],
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad b_n=0.
(extensão ímpar)
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad a_n=0.
Isto é muito usado para resolver EDPs com condições na metade do domínio.

Passo 10

Dicas práticas para prova (resumo rápido e mentalidades).
  • Primeiro passo sempre: testar se f é par, ímpar ou nenhuma. Isso já dá economia enorme: muitos coeficientes viram zero.
  • Lembre: \cos é par, \sin é ímpar. Produto com f determina paridade do integrando.
  • Se integrando for ímpar em [-L,L], integral é zero sem cálculo.
  • Quando não for zero, reduza integral de [-L,L] para [0,L] com fator 2 para ganhar tempo.
  • Use integrações por partes quando necessário (padrão para produtos polinômio×seno/cosseno).
  • Se estiver com pouco tempo: determine rapidamente quais coeficientes são zero; só calcule os restantes.

Resposta

Uma função é par se \,f(-x)=f(x) e ímpar se \,f(-x)=-f(x). Para a Série de Fourier em [-L,L]:
  • Se f é par então b_n=0 para todo n e
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
  • Se f é ímpar então a_n=0 (incluindo a_0=0) e
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Regra-prática: par → só cossenos; ímpar → só senos. Essas propriedades são obtidas porque integrais de funções ímpares em intervalos simétricos [-L,L] valem zero.

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