Aplique a transformada integral de Fourier para resolver o problema de valor de contorno no qual -infty, dada por:
ux x & =ut u(x, 0) & =e^-|x|

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo válida para todo . A condição inicial é . A matéria que vamos usar aqui é a Transformada Integral de Fourier, que nos ajuda a resolver EDPs transformando-as em equações mais simples no domínio da frequência. Para isso, precisamos conhecer como aplicar a transformada de Fourier em derivadas e como lidar com a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx , dx para ambos os lados da equação . A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Ao aplicar a transformada de Fourier, as derivadas em relação a se transformam multiplicando por , onde é a ordem da derivada.

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na equação Fuxx = Fut :
Fuxx = -(k)^2 u(k, t)
Sabemos que:
Fut = partial u(k, t)partial t
- k^2 u(k, t) = partial u(k, t)partial t
Então a equação transformada fica:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) no domínio da frequência:
partial u(k, t)partial t + k^2 u(k, t) = 0
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver utilizando o método de fator integrante. A solução geral dessa EDO é:
u(k, t) = u(k, 0) e^-k^2 t

Passo 5

Precisamos agora encontrar Fe^-|x| = 21 + k^2 , que é a transformada de Fourier da condição inicial u(k, t) = 21 + k^2 e^-k^2 t . A transformada de é uma função bem conhecida:
Portanto, temos:

Passo 6

Para encontrar a solução u(x, t) = F^-1 2 e^-k^2 t1 + k^2 no espaço original, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier à u(x, t) = e^-|x| cdot erfc( |x|2raizt ) :
Essa integral pode ser resolvida utilizando tabelas de transformadas ou propriedades de convolução. A solução final, após realizar a inversa, é:
onde é a função erro complementar.

Resposta

A solução do problema de valor de contorno é:
u(x, t) = e^-|x| cdot erfc( |x|2raizt )

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