Aplique a transformada integral de Fourier para resolver o problema de valor de contorno no qual
, dada por:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo
válida para todo
. A condição inicial é
. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada Integral de Fourier, que nos ajuda a resolver EDPs transformando-as em equações mais simples no domínio da frequência. Para isso, precisamos conhecer como aplicar a transformada de Fourier em derivadas e como lidar com a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável
para ambos os lados da equação
. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Ao aplicar a transformada de Fourier, as derivadas em relação a
se transformam multiplicando por
, onde
é a ordem da derivada.
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na equação
:
Sabemos que:
Então a equação transformada fica:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) no domínio da frequência:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver utilizando o método de fator integrante. A solução geral dessa EDO é:
Passo 5
Precisamos agora encontrar
, que é a transformada de Fourier da condição inicial
. A transformada de
é uma função bem conhecida:
Portanto, temos:
Passo 6
Para encontrar a solução
no espaço original, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier à
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando tabelas de transformadas ou propriedades de convolução. A solução final, após realizar a inversa, é:
onde
é a função erro complementar.
Resposta
A solução do problema de valor de contorno é: