Determine a temperatura de estado estacionário u(x, y) em uma chapa definida por x >= 0, y >= 0 se a fronteira x=0 tem-se u(0, y)=0, e em y=0, tem-se
u(x, 0)=c 10,01 uy(x, 0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a temperatura estacionária numa chapa onde e . Isso significa que a temperatura não muda com o tempo. Para resolver isso, vamos usar matemática que envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace. Vamos precisar entender as condições de contorno dadas para aplicar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições de contorno:
  • Em u(x, 0) = 10, & 0 < x < 1 0, & x > 1 , a temperatura é sempre zero: .
  • Em , a temperatura é 10 para e zero para :
  • Além disso, a derivada em na fronteira é zero: .

Passo 3

A equação de Laplace para temperatura estacionária em duas dimensões é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Essa equação nos diz que a soma das segundas derivadas parciais em e é zero, o que caracteriza um equilíbrio térmico.

Passo 4

Para resolver essa equação com as condições de contorno dadas, vamos usar a transformada de Fourier. Ela é útil para resolver equações diferenciais com condições em semi-espaços como o nosso. Aplicando a transformada na variável , obtemos uma equação diferencial ordinária em .

Passo 5

Após aplicar a transformada de Fourier, resolvemos a equação diferencial resultante. A solução geral para será uma combinação de funções que satisfazem a equação de Laplace e as condições de contorno.

Passo 6

Finalmente, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes da solução geral. Isso envolve garantir que e que a temperatura e sua derivada em na fronteira correspondam às funções dadas.

Resposta

A temperatura de estado estacionário u(x, y) = 10pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn e^-npi y sin(npi x) na chapa é dada por:

Exercícios relacionados