Determine a temperatura de estado estacionário
em uma chapa definida por
,
se a fronteira
tem-se
, e em
, tem-se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a temperatura estacionária
numa chapa onde
e
. Isso significa que a temperatura não muda com o tempo. Para resolver isso, vamos usar matemática que envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace. Vamos precisar entender as condições de contorno dadas para aplicar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições de contorno:
- Em
, a temperatura é sempre zero: . - Em
, a temperatura é 10 para e zero para : - Além disso, a derivada em
na fronteira é zero: .
Passo 3
A equação de Laplace para temperatura estacionária em duas dimensões é:
Essa equação nos diz que a soma das segundas derivadas parciais em
e
é zero, o que caracteriza um equilíbrio térmico.
Passo 4
Para resolver essa equação com as condições de contorno dadas, vamos usar a transformada de Fourier. Ela é útil para resolver equações diferenciais com condições em semi-espaços como o nosso. Aplicando a transformada na variável
, obtemos uma equação diferencial ordinária em
.
Passo 5
Após aplicar a transformada de Fourier, resolvemos a equação diferencial resultante. A solução geral para
será uma combinação de funções que satisfazem a equação de Laplace e as condições de contorno.
Passo 6
Finalmente, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes da solução geral. Isso envolve garantir que
e que a temperatura e sua derivada em
na fronteira
correspondam às funções dadas.
Resposta
A temperatura de estado estacionário
na chapa é dada por: