Determine a representação da função por um integral de Fourier:
f(x)=ce^3 x, x<0 0, x>0

Passo 1

Estamos falando de representação de Fourier de uma função descontínua definida por partes. O conteúdo envolve a transformada de Fourier e a integral inversa para expressar f(x) como uma integral em frequência.

Passo 2

A primeira etapa é calcular a transformada de Fourier de f(x), definida por F(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx. Como f(x)=0 para x>0, reduzimos a integral a
F(omega)=integral-infty^0e^3x,e^-iomega x,dx=integral-infty^0e^(3 - iomega)x,dx

Passo 3

Para calcular essa integral, usamos a primitiva de e^(3 - iomega)x. Como Re(3 - iomega)=3>0, temos convergência e
F(omega)=[e^(3 - iomega)x3 - iomega]x=-infty^0=13 - iomega

Passo 4

Por fim, usamos a fórmula inversa da transformada de Fourier, que diz
f(x)=12piintegral-infty^+inftyF(omega)e^iomega x,domega

Passo 5

Substituindo F(omega)=1/(3 - iomega), obtemos a representação buscada.

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^+inftye^iomega x3 - iomega,domega

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