Calcule a integral
integral1^2 2 xraizx^2-1 d x
Ela é imprópria? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 de 2xraizx^2-1,dx e perguntar se ela é imprópria. O conteúdo envolve antiderivadas de funções com raiz quadrada e tratamento de integrais impróprias com ponto singular no limite de integração.

Passo 2

Antes de integrar, note que em x=1 o denominador raizx^2-1 se anula, gerando uma descontinuidade infinita. Portanto a integral é imprópria de tipo I, pois há singularidade no limite inferior.

Passo 3

Para achar a primitiva, reconheça que
ddxl(raizx^2-1r)=xraizx^2-1
Multiplicando por 2, temos exatamente o integrando. Logo uma primitiva é F(x)=2raizx^2-1.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de integral imprópria via limite: seja
I=limato1^+integrala^22xraizx^2-1,dx =limato1^+l[F(x)r]a^2
Substituindo,
I=limato1^+l(2raiz2^2-1-2raiza^2-1r)=2raiz3-2cdot0=2raiz3

Passo 5

Concluímos que a integral imprópria converge (o limite existe) e o valor final é 2raiz3.

Resposta

O valor da integral é 2raiz3. A integral é imprópria em x=1, pois o denominador se anula ali, mas converge.

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