Calcule a integral
Ela é imprópria? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de
a
de
e perguntar se ela é imprópria. O conteúdo envolve antiderivadas de funções com raiz quadrada e tratamento de integrais impróprias com ponto singular no limite de integração.
Passo 2
Antes de integrar, note que em
o denominador
se anula, gerando uma descontinuidade infinita. Portanto a integral é imprópria de tipo I, pois há singularidade no limite inferior.
Passo 3
Para achar a primitiva, reconheça que
Multiplicando por
, temos exatamente o integrando. Logo uma primitiva é
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de integral imprópria via limite: seja
Substituindo,
Passo 5
Concluímos que a integral imprópria converge (o limite existe) e o valor final é
.
Resposta
O valor da integral é
. A integral é imprópria em
, pois o denominador se anula ali, mas converge.