Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se aplicar a transformada inversa de Laplace (unilateral) para obter o sinal no domínio do tempo correspondente a
. - A função no domínio de
que foi dada é
- Objetivo final: encontrar
, expressão explícita em termos de .
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda).
- Método escolhido: decompor
em frações parciais. Por que? Porque o denominador é produto de fatores lineares e (com multiplicidade 3) e sabemos a transformada inversa simples de termos do tipo . - Plano: escrever
determinar
e então aplicar tabela de transformadas inversas termo a termo.
Passo 3
Rápida aula: fórmulas de referência que vamos usar (tabela e interpretações).
- Regra básica (unilateral): a transformada
e sua inversa ligam funções e . - Transformadas úteis (tabela):
- Da tabela, as inversas relevantes são:
- Aqui
é uma constante real positiva (ou complexa com parte real adequada) e . Essas fórmulas são padrão e podem ser obtidas derivando/integração da transformada básica.
Passo 4
Escrever a decomposição em frações parciais e montar a identidade a ser satisfeita.
- Supomos
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Determinar
e
rapidamente usando “cover-up” (avaliando em raízes simples).
- Para
: o lado direito fica pois os outros termos têm fator . No lado esquerdo temos . Logo
- Para
: o lado direito fica (porque e anulem os termos com , e anula o termo com ). No lado esquerdo . Portanto
Passo 6
Determinar
e
comparando coeficientes (ou expandindo).
- Vamos expandir as partes necessárias. Primeiro note que
- Substituindo
e na identidade polinomial:
- Agrupando termos por potências de
, o coeficiente de no lado direito é . No lado esquerdo não há termo em (coeficiente zero). Logo
- O coeficiente de
é . Deve ser zero também (lado esquerdo não tem ). Logo
- (Verificação rápida dos coeficientes de
e termo constante dá consistência: conferem com e respectivamente.)
Passo 7
Escrever a decomposição final já com os valores encontrados.
- Portanto
- Ou, de forma mais limpa,
Passo 8
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando a tabela do Passo 3.
- Inversas de cada termo:
-
. -
. -
. -
.
-
- Somando os termos:
Passo 9
Forma alternativa (para visualização): fatorando
nos termos que têm
.
- Podemos escrever também