Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
X(s)=\frac{8 s+10}{(s+1)(s+2)^{3}}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se aplicar a transformada inversa de Laplace (unilateral) para obter o sinal no domínio do tempo correspondente a X(s).
  • A função no domínio de s que foi dada é
X(s)=\frac{8 s+10}{(s+1)(s+2)^{3}}.
  • Objetivo final: encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, expressão explícita em termos de t.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda).
  • Método escolhido: decompor X(s) em frações parciais. Por que? Porque o denominador é produto de fatores lineares (s+1) e (s+2) (com multiplicidade 3) e sabemos a transformada inversa simples de termos do tipo \dfrac{1}{(s+a)^k}.
  • Plano: escrever
X(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^2}+\frac{D}{(s+2)^3},
determinar A,B,C,D e então aplicar tabela de transformadas inversas termo a termo.

Passo 3

Rápida aula: fórmulas de referência que vamos usar (tabela e interpretações).
  • Regra básica (unilateral): a transformada \mathcal{L} e sua inversa \mathcal{L}^{-1} ligam funções x(t) e X(s).
  • Transformadas úteis (tabela): \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},\qquad \Re(s)>-a,
\mathcal{L}\{t^n e^{-a t}\}=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}},\qquad n\in\mathbb{N}_0.
  • Da tabela, as inversas relevantes são: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^2}\right\}=t e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^3}\right\}=\frac{t^2}{2}\,e^{-a t}.
  • Aqui a é uma constante real positiva (ou complexa com parte real adequada) e t\ge0. Essas fórmulas são padrão e podem ser obtidas derivando/integração da transformada básica.

Passo 4

Escrever a decomposição em frações parciais e montar a identidade a ser satisfeita.
  • Supomos
\frac{8 s+10}{(s+1)(s+2)^{3}}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^2}+\frac{D}{(s+2)^3}.
  • Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)^3 obtemos a identidade polinomial
8 s+10 = A(s+2)^3 + B(s+1)(s+2)^2 + C(s+1)(s+2) + D(s+1).

Passo 5

Determinar A e D rapidamente usando “cover-up” (avaliando em raízes simples).
  • Para s=-1: o lado direito fica A(1)^3 pois os outros termos têm fator (s+1). No lado esquerdo temos 8(-1)+10=2. Logo
A=2.
  • Para s=-2: o lado direito fica D(-1) (porque (s+2)^3 e (s+2)^2 anulem os termos com A,B, e (s+2) anula o termo com C). No lado esquerdo 8(-2)+10=-6. Portanto
- D = -6 \quad\Rightarrow\quad D=6.

Passo 6

Determinar B e C comparando coeficientes (ou expandindo).
  • Vamos expandir as partes necessárias. Primeiro note que
(s+2)^3 = s^3+6s^2+12s+8,
(s+1)(s+2)^2 = (s+1)(s^2+4s+4)=s^3+5s^2+8s+4,
(s+1)(s+2)=s^2+3s+2.
  • Substituindo A=2 e D=6 na identidade polinomial:
8s+10 = 2(s^3+6s^2+12s+8) + B(s^3+5s^2+8s+4) + C(s^2+3s+2) + 6(s+1).
  • Agrupando termos por potências de s, o coeficiente de s^3 no lado direito é 2+B. No lado esquerdo não há termo em s^3 (coeficiente zero). Logo
2+B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
  • O coeficiente de s^2 é 12+5B+C. Deve ser zero também (lado esquerdo não tem s^2). Logo
12+5(-2)+C=0 \quad\Rightarrow\quad 12-10+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-2.
  • (Verificação rápida dos coeficientes de s e termo constante dá consistência: conferem com 8 e 10 respectivamente.)

Passo 7

Escrever a decomposição final já com os valores encontrados.
  • Portanto
X(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{-2}{s+2}+\frac{-2}{(s+2)^2}+\frac{6}{(s+2)^3}.
  • Ou, de forma mais limpa,
X(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+2}-\frac{2}{(s+2)^2}+\frac{6}{(s+2)^3}.

Passo 8

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando a tabela do Passo 3.
  • Inversas de cada termo:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2}{s+1}\right\}=2 e^{-t}.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-2}{s+2}\right\}=-2 e^{-2t}.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-2}{(s+2)^2}\right\}=-2\cdot t e^{-2t}.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{6}{(s+2)^3}\right\}=6\cdot\frac{t^2}{2}e^{-2t}=3 t^2 e^{-2t}.
  • Somando os termos:
x(t)=2 e^{-t}-2 e^{-2t}-2 t e^{-2t}+3 t^{2} e^{-2t},\qquad t\ge0.

Passo 9

Forma alternativa (para visualização): fatorando e^{-2t} nos termos que têm e^{-2t}.
  • Podemos escrever também
x(t)=2 e^{-t} + e^{-2t}\bigl(-2 -2t +3 t^2\bigr).

Resposta

x(t)=2 e^{-t}-2 e^{-2t}-2 t e^{-2t}+3 t^{2} e^{-2t}

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