Aplique a transformada de Laplace na equação para obter a função
:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente aplicar a transformada de Laplace na seguinte equação para encontrar a função
:
Aqui, estamos lidando com equações integrais e usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática poderosa para resolver equações diferenciais e integrais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, como linearidade e a transformada de convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, e vamos usar a notação
para denotar a transformada.
Aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada transformada separadamente usando as fórmulas conhecidas:
- Transformada de
:
- Transformada de
:
- Transformada da integral
:
Essa integral é uma convolução de
com
. A propriedade da transformada de convolução diz que:
Passo 4
Substituindo todas as transformadas na equação original:
Agora, vamos isolar
. Primeiro, vamos trazer o termo que envolve
para o lado esquerdo:
Fatorando
:
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
Agora, a equação fica:
Isolando
:
Vamos separar essa fração:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo para encontrar
:
- Transformada inversa de
:
- Transformada inversa de
:
- Transformada inversa de
:
- Transformada inversa de
:
Juntando tudo: