Aplique a transformada de Laplace na equação para obter a função f(t) :
f(t)=3 t^2-e^-t-integral0^t f(x) e^t-x d x

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente aplicar a transformada de Laplace na seguinte equação para encontrar a função f(t) = 3 t^2 - e^-t - integral0^t f(x) e^t-x , dx :
Aqui, estamos lidando com equações integrais e usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática poderosa para resolver equações diferenciais e integrais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, como linearidade e a transformada de convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de Lf(t) = L3 t^2 - Le^-t - Lintegral0^t f(x) e^t-x , dx é , e vamos usar a notação para denotar a transformada.
Aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada transformada separadamente usando as fórmulas conhecidas:
  1. Transformada de Lt^n = n!s^n+1 Rightarrow L3 t^2 = 3 cdot 2!s^3 = 6s^3 :
Le^at = 1s - a Rightarrow Le^-t = 1s + 1
  1. Transformada de Lintegral0^t f(x) e^t-x , dx = F(s) cdot Le^t = F(s) cdot 1s - 1 :
  1. Transformada da integral :
Essa integral é uma convolução de com . A propriedade da transformada de convolução diz que:

Passo 4

Substituindo todas as transformadas na equação original:
F(s) = 6s^3 - 1s + 1 - F(s) cdot 1s - 1
Agora, vamos isolar F(s) + F(s) cdot 1s - 1 = 6s^3 - 1s + 1 . Primeiro, vamos trazer o termo que envolve F(s) (1 + 1s - 1) = 6s^3 - 1s + 1 para o lado esquerdo:
1 + 1s - 1 = s - 1 + 1s - 1 = ss - 1
Fatorando F(s) cdot ss - 1 = 6s^3 - 1s + 1 :
F(s) = ( 6s^3 - 1s + 1 ) cdot s - 1s
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
F(s) = 6(s - 1)s^4 - (s - 1)s(s + 1)
Agora, a equação fica:
F(s) = 6s^3 - 6s^4 - ( 1s + 1 - 1s )
Isolando :
Vamos separar essa fração:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo para encontrar L^-16s^3 = 6 cdot t^22 = 3 t^2 :
  1. Transformada inversa de L^-1-6s^4 = -6 cdot t^36 = - t^3 :
L^-1-1s + 1 = -e^-t
  1. Transformada inversa de L^-11s = 1 :
f(t) = 3 t^2 - t^3 - e^-t + 1
  1. Transformada inversa de :
  1. Transformada inversa de :
Juntando tudo:

Resposta

f(t) = 3 t^2 - t^3 - e^-t + 1

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