Resolva: (PVI)
4 y^prime prime-4 y^prime+y=0
y(0)=2
y^prime(0)=1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a função 4 y'' - 4 y' + y = 0 que satisfaz a equação
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Substituímos 4r^2 - 4r + 1 = 0 por , por , e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 4 cdot 12 cdot 4 = 4 pm raiz16 - 168 = 4 pm 08 = 12 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é do tipo:
y(t) = (C1 + C2 t) e^12 t
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 = C1 = 2 :
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar y'(t) = C2 e^12 t + (C1 + C2 t) cdot 12 e^12 t = ( C2 + C12 + C2 t2 ) e^12 t . Para isso, vamos calcular a derivada de y'(0) = ( C2 + 22 + 0 ) e^0 = C2 + 1 = 13 :
C2 = 13 - 1 = -23
Aplicando a segunda condição inicial :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = (2 - 23 t) e^12 t

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