Resolva: (PVI)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Substituímos
por
,
por
, e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é do tipo:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: