Resolva:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Euler ou Equação Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos usar uma abordagem específica que envolve suposições sobre a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Essa é uma estratégia comum para equações de Euler.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatoramos
da equação:
Como
nunca é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática para
:
Passo 7
Com os valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: