Resolva:
(x^wed>= 2) y^prime prime+x y^prime-9 y=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
x^2 y'' + x y' - 9 y = 0
Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Euler ou Equação Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos usar uma abordagem específica que envolve suposições sobre a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Essa é uma estratégia comum para equações de Euler.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y' = m x^m-1 :
y'' = m (m - 1) x^m-2

Passo 4

Substituímos x^2 cdot m (m - 1) x^m-2 + x cdot m x^m-1 - 9 x^m = 0 , m (m - 1) x^m + m x^m - 9 x^m = 0 e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatoramos x^m [m (m - 1) + m - 9] = 0 da equação:
m (m - 1) + m - 9 = 0
Como nunca é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática para m^2 - m + m - 9 = 0 implies m^2 - 9 = 0 :
m^2 = 9 implies m = 3 ou m = -3

Passo 7

Com os valores de y = C1 x^3 + C2 x^-3 , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^3 + C2 x^-3

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