Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a parte não homogênea, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, ou seja,
. Isso significa que estamos olhando para a parte da equação sem o termo
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
por
, resultando em:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. O lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau, então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos de
e os termos constantes:
Para os termos de
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: