Resolva:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a parte não homogênea, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, ou seja, . Isso significa que estamos olhando para a parte da equação sem o termo .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo r^2 - 4r + 3 = 0 por , resultando em:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 , usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 122
r = 4 pm raiz42
r = 4 pm 22
r1 = 4 + 22 = 3
Então, as raízes são:
r2 = 4 - 22 = 1

Passo 5

Com as raízes yh = C1 e^3x + C2 e^x e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp = Ax + B ) para a equação completa . O lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau, então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp' = A :
yp'' = 0
0 - 4A + 3(Ax + B) = 2x + 1
Substituindo -4A + 3Ax + 3B = 2x + 1 , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos de 3A = 2 e os termos constantes:
Para os termos de A = 23 :
-4A + 3B = 1
-4 ( 23 ) + 3B = 1
Para os termos constantes:
-83 + 3B = 1
Substituindo 3B = 1 + 83 :
3B = 113
B = 119

Passo 9

Com os valores de yp = 23x + 119 e encontrados, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp
y = C1 e^3x + C2 e^x + 23x + 119

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^3x + C2 e^x + 23x + 119

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