Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais , sujeito às condições iniciais .
Passo 1
Temos um sistema de EDOs de primeira ordem acopladas:
com condições iniciais e . O objetivo é usar a transformada de Laplace para converter essas EDOs em um sistema algébrico em , resolver para e e depois aplicar a transformada inversa para achar e .
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação, usando e :
Passo 3
Substituindo e , rearranjamos para agrupar e :
Passo 4
Resolvendo esse sistema algébrico por regra de Cramer, o determinante principal é:
Então
Y(s)=s-1&-1-5&2De
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa. Escrevemos:
X(s)=-ss^2+9-5s^2+9,
Y(s)=2ss^2+9-7s^2+9
Sabendo que L^-1s/(s^2+9)=cos3t e L^-11/(s^2+9)=(1/3)sin3t, obtemos as soluções no domínio do tempo: