Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
ld xd t=x-2 y d yd t=5 x-y, sujeito às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.

Passo 1

Temos um sistema de EDOs de primeira ordem acopladas:
dxdt=x-2y dydt=5x-y
com condições iniciais x(0)=-1 e y(0)=2. O objetivo é usar a transformada de Laplace para converter essas EDOs em um sistema algébrico em s, resolver para X(s)=Lx(t) e Y(s)=Ly(t) e depois aplicar a transformada inversa para achar x(t) e y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação, usando Ldx/dt=sX(s)-x(0) e Ldy/dt=sY(s)-y(0):
sX(s)-x(0)=X(s)-2Y(s) sY(s)-y(0)=5X(s)-Y(s)

Passo 3

Substituindo x(0)=-1 e y(0)=2, rearranjamos para agrupar X(s) e Y(s):
(s-1)X(s)+2Y(s)=-1 -5X(s)+(s+1)Y(s)=2

Passo 4

Resolvendo esse sistema algébrico por regra de Cramer, o determinante principal é:
De
Então
X(s)=-1&22&s+1De
Y(s)=s-1&-1-5&2De

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Escrevemos:
X(s)=-ss^2+9-5s^2+9,
Y(s)=2ss^2+9-7s^2+9
Sabendo que L^-1s/(s^2+9)=cos3t e L^-11/(s^2+9)=(1/3)sin3t, obtemos as soluções no domínio do tempo:

Passo 6

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