Determine o comprimento da curva dada:
r(t)=lang<= t, 3 cos t, 3 sen trang<=,-5 <= t <= 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=lang<= t,3cos t,3sin trang<= no intervalo -5<= t<=5. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica no espaço. Para resolver, vamos usar a fórmula
L=integrala^b|r'(t)|,dt
e calcular r'(t) e sua norma.

Passo 2

Derivando cada componente de r(t): a derivada de t é 1, de 3cos t é -3sin t e de 3sin t é 3cos t. Logo temos
r'(t)=lang<=1,-3sin t,3cos trang<= .

Passo 3

Para achar a norma de r'(t) usamos
|r'(t)|=raiz1^2+(-3sin t)^2+(3cos t)^2
Como sin^2 t+cos^2 t=1, isso fica
|r'(t)|=raiz1+9(sin^2 t+cos^2 t)=raiz10

Passo 4

Como a norma é constante igual a raiz10, a integral de -5 a 5 vira
L=integral-5^5raiz10,dt=raiz10,(5-(-5))=10raiz10

Resposta

10\sqrt{10}

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