Considere os limites:
& L1=lim x 0 e^4 x-e^xx, L2=lim x 3 sen(x-3)x^2-9, L3=lim x -infty raizx^2+4 x+3x-7, & L4=lim x 0 1-cos xx e L5=lim x 1 3-raiz8+x5-raiz24+x
Qual desses limites é positivo e menor do que 2?
a L1
b L2
© L5
(d L3
(e) L4

Passo 1

A questão pede para calcular cinco limites (L₁, L₂, L₃, L₄, L₅) e depois verificar quais deles são positivos e menores que 2. Vamos usar regra de L’Hôpital quando for 0/0, séries e fatorações simples.

Passo 2

Calcular L₁ = limxto0e^4x-e^xx. Expandindo em série (ou usando derivada no numerador):
e^4x-e^x = (1+4x+O(x^2)) - (1+x+O(x^2)) = 3x + O(x^2)
Logo
L1 = limxto03x + O(x^2)x = 3

Passo 3

Calcular L₂ = limxto3sin(x-3)x^2-9. Colocando t=x-3:
x^2-9 = (t+3)^2 - 9 = t(t+6),
então
sin(x-3)x^2-9 = sin tt cdot 1t+6 xrightarrowtto0 1 cdot 16 = 16
Portanto L2 = tfrac16

Passo 4

Calcular L₃ = limxto-inftyraizx^2+4x+3x-7. Para x grande negativo, raizx^2+4x+3 = |x|raiz1+4/x+3/x^2 = -xl(1+2/x+O(1/x^2)r) Então
raizx^2+4x+3x-7 sim -x -2x = -1 - 2x to -1
Logo L3 = -1

Passo 5

Calcular L₄ = limxto01-cos xx. Sabemos que 1-cos x sim x^2/2, logo
1-cos xx sim x^2/2x = x2 to 0
Então L4 = 0

Passo 6

Calcular L₅ = limxto13-raiz8+x5-raiz24+x. Dá 0/0, vamos usar expansão em h=x-1:
raiz8+x = raiz9+h = 3 + h6 + O(h^2),
raiz24+x = raiz25+h = 5 + h10 + O(h^2)
Então
3-raiz8+x = -h6+O(h^2),
5-raiz24+x = -h10+O(h^2)
Dividindo,
L5 = limhto0 -h/6-h/10 = 1/61/10 = 106 = 53 approx 1,67

Passo 7

Comparando todos: L₁=3 (>2), L₂=1/6 (>0 e <2), L₃=-1 (<0), L₄=0 (não é positivo), L₅=5/3 (>0 e <2). Logo os limites positivos e menores que 2 são L₂ e L₅.

Resposta

L₂ e L₅

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