Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
sujeio às condições iniciais
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema de EDOs lineares de primeira ordem usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve aplicar a transformada a derivadas, usar as condições iniciais e depois inverter a transformada para encontrar
e
. Vamos precisar dos pares
e
, além de manipular álgebra de frações racionais.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em
e em
e usando
,
:
Em seguida passamos o
para o lado direito.
Passo 3
Reescrevendo as duas equações em forma matricial/algebraica:
Agora temos um sistema linear em
e
.
Passo 4
Para achar
, calculamos o determinante do sistema:
O numerador de
dá
logo
Passo 5
Invertendo a transformada de
:
Passo 6
Para achar
, voltamos na primeira equação transformada:
Isolando
e fazendo frações parciais, obtemos
Invertendo a transformada:
Resposta
x(t)=-e^{-4t},\quad y(t)=-2t+2e^{-4t}