Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
lx^prime-2 y=4 t y^prime+2 y-4 x=-4 t-2 sujeio às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema de EDOs lineares de primeira ordem usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve aplicar a transformada a derivadas, usar as condições iniciais e depois inverter a transformada para encontrar x(t) e y(t). Vamos precisar dos pares Lx'=sX(s)-x(0) e Ly'=sY(s)-y(0), além de manipular álgebra de frações racionais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em x'-2y=4t e em y'+2y-4x=-4t-2 e usando x(0)=-1, y(0)=2:
Lx': sX(s)+1, L4t=4/s^2
primeira eq: (sX(s)+1)-2Y(s)=4/s^2
Ly': sY(s)-2, L-4t-2=-4/s^2-2/s
segunda eq: (sY(s)-2)+2Y(s)-4X(s)=-4/s^2-2/s
Em seguida passamos o -2 para o lado direito.

Passo 3

Reescrevendo as duas equações em forma matricial/algebraica:
sX(s)-2Y(s)=4/s^2-1, -4X(s)+(s+2)Y(s)=-4/s^2-2/s+2
Agora temos um sistema linear em X(s) e Y(s).

Passo 4

Para achar X(s), calculamos o determinante do sistema:
De
O numerador de X(s)
-(s-2)
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X(s)=-(s-2)(s-2)(s+4)=-1s+4

Passo 5

Invertendo a transformada de X(s):
x(t)=L^-1l-1s+4r=-e^-4t

Passo 6

Para achar Y(s), voltamos na primeira equação transformada:
sX(s)-2Y(s)=4/s^2-1Rightarrow -ss+4-2Y(s)=4s^2-1
Isolando Y(s) e fazendo frações parciais, obtemos
Y(s)=2(s^2 - s -4)s^2(s+4)= -2s^2+2s+4
Invertendo a transformada:
y(t)=-2t+2e^-4t

Resposta

x(t)=-e^{-4t},\quad y(t)=-2t+2e^{-4t}

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