Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
cx1^prime prime+10 x1-4 x2=0 -4 x1+x2^prime prime+4 x2=0 sujeito às condições iniciais x1(0)=0, x1^prime(0)=1, x2(0)=0 e x2^prime(0)=-1

Passo 1

Vamos usar a transformada de Laplace para resolver o sistema acoplado de segunda ordem, com condições iniciais. Vamos chamar de X1(s) e X2(s) as imagens de x1(t) e x2(t) e usar Lx''=s^2X(s)-sx(0)-x'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada equação e usando x1(0)=0, x1'(0)=1, x2(0)=0, x2'(0)=-1 obtemos o sistema algébrico:
(s^2+10)X1(s)-4X2(s)=1
-4X1(s)+(s^2+4)X2(s)=-1

Passo 3

Resolvendo o sistema por métodos de determinante: o determinante comum é
D=(s^2+10)(s^2+4)-(-4)(-4)=s^4+14s^2+24=(s^2+2)(s^2+12)
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X1(s)=s^2(s^2+2)(s^2+12), X2(s)=-s^2+6(s^2+2)(s^2+12)

Passo 4

Fazendo frações parciais:
Para X1(s):
s^2(s^2+2)(s^2+12)=-1/5s^2+2+6/5s^2+12
Para X2(s):
-s^2+6(s^2+2)(s^2+12)=-2/5s^2+2-3/5s^2+12

Passo 5

Invertendo cada termo com L^-11/(s^2+a^2)=tfrac1asin(at), obtemos:
x1(t)=-15raiz2sin(raiz2,t)+35raiz3sin(2raiz3,t),
x2(t)=-25raiz2sin(raiz2,t)-310raiz3sin(2raiz3,t)

Resposta

x1(t)=-15raiz2sin(raiz2,t)+35raiz3sin(2raiz3,t), x2(t)=-25raiz2sin(raiz2,t)-310raiz3sin(2raiz3,t)

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