Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de uma das dimensões da base, a qual denotaremos por x. Se a área total de superfície de cada caixa deve ser de 600 cm^2, expresse o volume V da caixa como função de x. Não esqueça de indicar o domínio da função V .

Passo 1

Estamos com uma caixa aberta (sem tampa), de base retangular com lados de comprimentos x e y, e altura h que vale o triplo de x, ou seja, h = 3x. Queremos expressar o volume V em função de x sabendo que a área total da superfície é 600 cm².

Passo 2

A área total A de uma caixa sem tampa é a soma da área da base mais a área das quatro faces laterais. Como a base é xy e cada face tem área xh ou yh, temos:
A = underbracexybase + 2,(xh) + 2,(yh)
Substituindo h = 3x e impondo A = 600, obtemos:
600 = xy + 2,(xcdot3x) + 2,(ycdot3x) = xy + 6x^2 + 6xy = 6x^2 + 7xy
Dessa equação, isolamos y:
7xy = 600 - 6x^2 Longrightarrow y = 600 - 6x^27x

Passo 3

O volume da caixa é dado por V = área da base × altura = x·y·h. Como h = 3x e y vem da expressão anterior, temos:
V(x) = x times 600 - 6x^27x times 3x = 3x^2 cdot 600 - 6x^27x = 3x(600 - 6x^2)7
Simplificando, ficamos com:
V(x) = 1800,x - 18,x^37

Passo 4

Para que a caixa exista, precisamos ter x > 0 e y > 0. Do numerador de y vem 600 - 6x² > 0, isto é x² < 100. Assim, o domínio válido de x é:
0 < x < 10

Resposta

A função volume é
V(x) = 1800,x - 18,x^37,
e o seu domínio é
0 < x < 10

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