Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de uma das dimensões da base, a qual denotaremos por x. Se a área total de superfície de cada caixa deve ser de
, expresse o volume V da caixa como função de x. Não esqueça de indicar o domínio da função V .
Passo 1
Estamos com uma caixa aberta (sem tampa), de base retangular com lados de comprimentos x e y, e altura h que vale o triplo de x, ou seja, h = 3x. Queremos expressar o volume V em função de x sabendo que a área total da superfície é 600 cm².
Passo 2
A área total A de uma caixa sem tampa é a soma da área da base mais a área das quatro faces laterais. Como a base é xy e cada face tem área xh ou yh, temos:
Substituindo h = 3x e impondo A = 600, obtemos:
Dessa equação, isolamos y:
Passo 3
O volume da caixa é dado por V = área da base × altura = x·y·h. Como h = 3x e y vem da expressão anterior, temos:
Simplificando, ficamos com:
Passo 4
Para que a caixa exista, precisamos ter x > 0 e y > 0. Do numerador de y vem 600 - 6x² > 0, isto é x² < 100. Assim, o domínio válido de x é:
Resposta
A função volume é
e o seu domínio é