Ex.2: Dada a integral, 1=\int_{0}^{\pi / 2}\left(e^{x} \cos (x)\right) d x, definida no intervalo [0, \pi / 2]. (a) Calcule a integral da função usando a Regra do Trapézlo Composta; considere \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{5} intervalos. (b) Calcule o erro da integraçāo. Use 4 casas decimais em suas contas.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos x\,dx
e pede duas coisas:
  • (a) aproximar a integral usando a Regra do Trapézio Composta com n=5 intervalos;
  • (b) calcular o erro da integração (ou seja, a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação por Trapézio composta).
Informações relevantes fornecidas:
  • Intervalo: [a,b]=[0,\pi/2].
  • Número de subintervalos: n=5.
  • Função a integrar: f(x)=e^{x}\cos x.

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Dividimos [a,b] em n subintervalos de comprimento
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os nós são x_i=a+i h, para i=0,1,\dots,n.
  • A Regra do Trapézio Composta dá a aproximação
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Aqui f(x_i)=e^{x_i}\cos x_i.
Sobre erro: existe uma estimativa (cota) para o erro do Trapézio composto,
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12 n^2}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Vou usar essa cota para comparar com o erro real. Para obter o erro real preciso do valor exato da integral, que vamos calcular analiticamente (é simples neste caso).

Passo 3

Calcular h com 4 casas decimais (vou arredondar os valores intermediários a 4 casas decimais conforme pedido):
h=\frac{\pi/2-0}{5}=\frac{\pi}{10}\approx 0,3142.

Passo 4

Calcular os nós x_i e os valores f(x_i)=e^{x_i}\cos x_i. Vou apresentar x_i e f(x_i) arredondados a 4 casas decimais (os cálculos internos foram feitos com precisão suficiente, mas os números mostrados ficam com 4 casas).
  • x_0=0,0000; f(x_0)=e^{0}\cos 0=1,0000.
  • x_1=0,3142; f(x_1)\approx 1,3021.
  • x_2=0,6283; f(x_2)\approx 1,5166.
  • x_3=0,9425; f(x_3)\approx 1,5074.
  • x_4=1,2566; f(x_4)\approx 1,0856.
  • x_5=1,5708 (que é \pi/2); f(x_5)=e^{\pi/2}\cos(\pi/2)=0,0000.
(Observação rápida: alguns x_i são múltiplos de \pi/10, \pi/5, etc., e as cossenos correspondentes são valores conhecidos; os exponenciais foram avaliados numericamente e arredondados a 4 casas.)

Passo 5

Aplicar a fórmula do Trapézio Composto:
T_5 = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2}+\sum_{i=1}^{4} f(x_i)\right).
Substituindo os números (todos com 4 casas mostradas):
\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2}=\frac{1,0000+0,0000}{2}=0,5000,
\sum_{i=1}^{4} f(x_i)=1,3021+1,5166+1,5074+1,0856=5,4117.
Logo o parêntese vale 0,5000+5,4117=5,9117. Multiplicando por h:
T_5 \approx 0,3142\cdot 5,9117 \approx 1,8575.
Portanto a aproximação pela Regra do Trapézio Composta com n=5 é T_5\approx 1,8575 (arredondado a 4 casas decimais).

Passo 6

Calcular o valor exato da integral para obter o erro real. Primeiro encontrar uma primitiva de f. Note que
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\right) = e^{x}\cos x,
pois o cálculo por partes/produto confirma isso. Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x).
Avaliação nos extremos:
I=\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos x\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0).
Calcular:
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{e^{\pi/2}}{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})+\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) =\frac{e^{\pi/2}}{2}(1+0)=\frac{e^{\pi/2}}{2},
F(0)=\frac{e^{0}}{2}(\sin 0+\cos 0)=\frac{1}{2}(0+1)=\frac{1}{2}.
Portanto
I=\frac{e^{\pi/2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e^{\pi/2}-1}{2}.
Numericamente (arredondando a 4 casas decimais),
I\approx 1,9052.

Passo 7

Calcular o erro real da aproximação (erro absoluto):
E_{\text{real}} = |I-T_5| \approx |1,9052-1,8575| = 0,0477.
Então o erro da integração (diferença entre valor exato e aproximação por Trapézio composta com n=5) é aproximadamente 0,0477 (4 casas decimais).

Passo 8

Calcular a cota teórica do erro pelo termo envolvendo f'', só para referência e para ver se faz sentido:
  • Primeiro f(x)=e^{x}\cos x implica
f''(x)=-2e^{x}\sin x.
Em [0,\pi/2] a quantidade |f''(x)|=2e^{x}\sin x atinge seu máximo em x=\pi/2, porque e^{x} e \sin x crescem no intervalo. Logo
\max_{[0,\pi/2]}|f''(x)|=2e^{\pi/2}.
A cota do erro do Trapézio composto é
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12 n^2}\max_{[a,b]}|f''(x)| =\frac{(\pi/2)^3}{12\cdot 5^{2}}\cdot 2e^{\pi/2}.
Numericamente, usando 4 casas decimais nas contas,
|E_T|\lesssim 0,1244.
Essa cota é maior que o erro real 0,0477, o que é normal: cota é uma garantia, não precisa ser apertada.

Resposta

\text{(a) }T_5\approx 1,8575
\text{(b) erro absoluto }|I-T_5|\approx 0,0477

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