Ex.2: Dada a integral,
, definida no intervalo
. (a) Calcule a integral da função usando a Regra do Trapézlo Composta; considere
intervalos. (b) Calcule o erro da integraçāo. Use 4 casas decimais em suas contas.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral definida
e pede duas coisas:
- (a) aproximar a integral usando a Regra do Trapézio Composta com
intervalos; - (b) calcular o erro da integração (ou seja, a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação por Trapézio composta).
Informações relevantes fornecidas:
- Intervalo:
. - Número de subintervalos:
. - Função a integrar:
.
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
- Dividimos
em subintervalos de comprimento
- Os nós são
, para . - A Regra do Trapézio Composta dá a aproximação
Aqui
.
Sobre erro: existe uma estimativa (cota) para o erro do Trapézio composto,
Vou usar essa cota para comparar com o erro real. Para obter o erro real preciso do valor exato da integral, que vamos calcular analiticamente (é simples neste caso).
Passo 3
Calcular
com 4 casas decimais (vou arredondar os valores intermediários a 4 casas decimais conforme pedido):
Passo 4
Calcular os nós
e os valores
. Vou apresentar
e
arredondados a 4 casas decimais (os cálculos internos foram feitos com precisão suficiente, mas os números mostrados ficam com 4 casas).
-
; . -
; . -
; . -
; . -
; . -
(que é ); .
(Observação rápida: alguns
são múltiplos de
,
, etc., e as cossenos correspondentes são valores conhecidos; os exponenciais foram avaliados numericamente e arredondados a 4 casas.)
Passo 5
Aplicar a fórmula do Trapézio Composto:
Substituindo os números (todos com 4 casas mostradas):
Logo o parêntese vale
. Multiplicando por
:
Portanto a aproximação pela Regra do Trapézio Composta com
é
(arredondado a 4 casas decimais).
Passo 6
Calcular o valor exato da integral para obter o erro real. Primeiro encontrar uma primitiva de
. Note que
pois o cálculo por partes/produto confirma isso. Logo uma primitiva é
Avaliação nos extremos:
Calcular:
Portanto
Numericamente (arredondando a 4 casas decimais),
Passo 7
Calcular o erro real da aproximação (erro absoluto):
Então o erro da integração (diferença entre valor exato e aproximação por Trapézio composta com
) é aproximadamente
(4 casas decimais).
Passo 8
Calcular a cota teórica do erro pelo termo envolvendo
, só para referência e para ver se faz sentido:
- Primeiro
implica
Em
a quantidade
atinge seu máximo em
, porque
e
crescem no intervalo. Logo
A cota do erro do Trapézio composto é
Numericamente, usando 4 casas decimais nas contas,
Essa cota é maior que o erro real
, o que é normal: cota é uma garantia, não precisa ser apertada.