Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
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Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais de segunda ordem acopladas em x(t) e y(t), com condições iniciais x(0)=0, x′(0)=2 e y(0)=0. O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para transformar o sistema diferencial em um sistema algébrico em s, e depois inverter para obter x(t) e y(t).
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação. Denotando X(s)=ℒ{x(t)} e Y(s)=ℒ{y(t)}, temos para a primeira equação:
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Passo 3
Para a segunda equação:
Passo 4
Agora temos o sistema algébrico:
Passo 5
Subtraindo a segunda da primeira eliminamos X(s):
Passo 6
Usando a segunda equação para X(s):
dividindo por s^2:
Passo 7
Agora fazemos frações parciais e invertemos as transformadas. Para Y(s):
Passo 8
Invertendo:
Passo 9
Para X(s):
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Passo 10
Invertendo:
Resposta
x(t)=1+t+\tfrac{t2}{2}-e{-t},\quad y(t)=-\tfrac13+\tfrac13e{-t}+\tfrac13te{-t}