Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
\left{ ld^2 xd t^2+3 d yd t+3 y=0 d^2 xd t^2+3 y=t e^-t x(0)=0, x^prime(0)=2, y(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais de segunda ordem acopladas em x(t) e y(t), com condições iniciais x(0)=0, x′(0)=2 e y(0)=0. O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para transformar o sistema diferencial em um sistema algébrico em s, e depois inverter para obter x(t) e y(t).

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação. Denotando X(s)=ℒ{x(t)} e Y(s)=ℒ{y(t)}, temos para a primeira equação:
ℒx''(t)=s^2X(s)-s x(0)-x'(0)=s^2X(s)-2,
ℒy'(t)=sY(s)-y(0)=sY(s),
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s^2X(s)-2+3sY(s)+3Y(s)=0

Passo 3

Para a segunda equação:
s^2X(s)-2+3Y(s)=ℒte^-t=1(s+1)^2

Passo 4

Agora temos o sistema algébrico:
s^2X(s)+3(s+1)Y(s)=2,s^2X(s)+3Y(s)=2+1(s+1)^2

Passo 5

Subtraindo a segunda da primeira eliminamos X(s):
3(s+1)Y(s)-3Y(s)=-1(s+1)^2implies3sY(s)=-1(s+1)^2implies Y(s)=-13s(s+1)^2

Passo 6

Usando a segunda equação para X(s):
s^2X(s)=2+1(s+1)^2-3Y(s)=2+1(s+1)^2+1s(s+1)^2=2+1s(s+1),
dividindo por s^2:
X(s)=2s^2+1s^3(s+1)

Passo 7

Agora fazemos frações parciais e invertemos as transformadas. Para Y(s):
Y(s)=-131s(s+1)^2=-13s+13(s+1)+13(s+1)^2

Passo 8

Invertendo:
y(t)=-13+13e^-t+13te^-t

Passo 9

Para X(s):
1s^3(s+1)=1s-1s^2+1s^3-1s+1,
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X(s)=2s^2+l(1s-1s^2+1s^3-1s+1r)=1s+1s^2+1s^3-1s+1

Passo 10

Invertendo:
x(t)=1+t+t^22-e^-t

Resposta

x(t)=1+t+\tfrac{t2}{2}-e{-t},\quad y(t)=-\tfrac13+\tfrac13e{-t}+\tfrac13te{-t}

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