Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema acoplado de equações diferenciais de segunda ordem usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é a transformada de Laplace de derivadas e as condições iniciais. Vamos usar as propriedades
e
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação e inserimos as condições iniciais
,
,
,
:
Para :
Para
Substituindo:
Logo
Para
:
Logo
Passo 3
Reescrevendo como sistema algébrico:
O determinante é
. Resolvendo:
Passo 4
Fazendo frações parciais em
:
Assumimos
Assumimos
Igualando coeficientes obtemos
,
,
,
. Assim
Invertendo:
Passo 5
Para
fazemos similarmente
com solução dos coeficientes
,
,
,
. Logo
Invertendo:
Resposta
x(t) = -\tfrac{t}{2} - \tfrac{3}{2\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t),\quad y(t) = -\tfrac{t}{2} + \tfrac{3}{2\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)