Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
\left{ ld^2 xd t^2+x-y=0 d^2 yd t^2+y-x=0 x(0)=0, x^prime(0)=-2 y(0)=0, y^prime(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema acoplado de equações diferenciais de segunda ordem usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é a transformada de Laplace de derivadas e as condições iniciais. Vamos usar as propriedades Lx'(s)=sX(s)-x(0) e Lx''(s)=s^2X(s)-sx(0)-x'(0).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação e inserimos as condições iniciais x(0)=0, x'(0)=-2, y(0)=0, y'(0)=1):
Para x:
Lx''+ Lx- Ly=0
Substituindo:
(s^2X(s)-0-(-2)) + X(s) - Y(s) = 0
Logo
(s^2+1)X(s) - Y(s) + 2 = 0
Para y:
(s^2Y(s)-0-1) + Y(s) - X(s) = 0
Logo
(s^2+1)Y(s) - X(s) - 1 = 0

Passo 3

Reescrevendo como sistema algébrico:
(s^2+1)X - Y = -2, - X + (s^2+1)Y = 1
O determinante é (s^2+1)^2 -1 = s^2(s^2+2). Resolvendo:
X(s)=-2(s^2+1)+1s^2(s^2+2)= -2s^2+1s^2(s^2+2),
Y(s)=(s^2+1)cdot1 -(-2)cdot(-1)s^2(s^2+2)=s^2-1s^2(s^2+2)

Passo 4

Fazendo frações parciais em X(s)=-2s^2+1s^2(s^2+2):
Assumimos
X(s)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+2
Igualando coeficientes obtemos A=0, B=-tfrac12, C=0, D=-tfrac32. Assim
X(s)=-tfrac121s^2 - tfrac321s^2+2
Invertendo:
x(t)=-tfrac12,t - tfrac32cdot1raiz2sin(raiz2t)=-tfract2-tfrac32raiz2sin(raiz2t)

Passo 5

Para Y(s)=s^2-1s^2(s^2+2) fazemos similarmente
Y(s)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+2
com solução dos coeficientes A=0, B=-tfrac12, C=0, D=tfrac32. Logo
Y(s)=-tfrac121s^2+tfrac321s^2+2
Invertendo:
y(t)=-tfrac12,t + tfrac32cdot1raiz2sin(raiz2t)=-tfract2+tfrac32raiz2sin(raiz2t)

Resposta

x(t) = -\tfrac{t}{2} - \tfrac{3}{2\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t),\quad y(t) = -\tfrac{t}{2} + \tfrac{3}{2\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)

Exercícios relacionados