Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem:
y^prime+p(t) y=g(t)
(a) Se g(t)=0 para todo t, mostre que a solução é
y=A exp [-integral p(t) d t]
onde A é constante.
(b) Se g(t) não for identicamente nula, suponha que a solução da Eq. (i) é da forma
y=A(t) exp [-integral p(t) d t]

Passo 1

Nesse exercício vamos usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação linear de primeira ordem
ainda mais geral:
y^prime+p(t)y=g(t)
Na parte (a) resolvemos o caso homogêneo em que g(t)=0. Na parte (b) encontramos a solução geral quando g(t)neq0 supondo que a “constante” da solução homogênea vire uma função A(t).

Passo 2

Primeiro tratamos a parte (a). Se g(t)=0 a equação fica homogênea:
y^prime+p(t)y=0
Podemos reescrever como y'/y=-p(t). Integrando ambos os lados em relação a t obtemos
ln|y|=-integral p(t),dt +ln|A|
onde ln|A| é a constante de integração. Exponenciando temos
y=Aexpl(-integral p(t),dtr)
com A constante.

Passo 3

Agora vamos à parte (b), em que g(t) não é nulo. A ideia é buscar uma solução da forma
y(t)=A(t)expl(-integral p(t),dtr)
onde A(t) substitui a constante do caso homogêneo.

Passo 4

Precisamos achar A(t). Primeiro calcule a derivada:
y'(t)=A'(t),e^-integral p;- p(t),A(t),e^-integral p
onde escrevemos e^-integral p como abreviação de exp(-integral p(t),dt). Substituindo em
y'+p(t)y=g(t)
A'(t)e^-integral p(t),dt-p(t)A(t)e^-integral p(t),dt+p(t)A(t)e^-integral p(t),dt=g(t)
o que simplifica para
A'(t)e^-integral p(t),dt=g(t)

Passo 5

Isolando A'(t) temos
A'(t)=g(t),e^integral p(t),dt
Agora integramos em t:
A(t)=integral g(t)e^integral p(t),dt,dt + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos A(t) em y(t)=A(t)e^-integral p. A solução geral da equação é
y(t)=e^-integral p(t),dtl(C+integral g(t)e^integral p(t),dt,dtr)
que inclui o caso homogêneo como g=0, recuperando y=Ae^-integral p.

Resposta

Para g(t)=0:
y(t)=Aexpl(-integral p(t),dtr)
Para g(t)neq0, solução geral:
y(t)=expl(-integral p(t),dtr)l(C+integral g(t)expl(integral p(t),dtr),dtr)

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