Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem:
(a)
para todo
, mostre que a solução é
onde
é constante.
(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Eq. (i) é da forma
(b) Se
Passo 1
Nesse exercício vamos usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação linear de primeira ordem
ainda mais geral:
ainda mais geral:
Na parte (a) resolvemos o caso homogêneo em que
. Na parte (b) encontramos a solução geral quando
supondo que a “constante” da solução homogênea vire uma função
.
Passo 2
Primeiro tratamos a parte (a). Se
a equação fica homogênea:
Podemos reescrever como
. Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
onde
é a constante de integração. Exponenciando temos
com
constante.
Passo 3
Agora vamos à parte (b), em que
não é nulo. A ideia é buscar uma solução da forma
onde
substitui a constante do caso homogêneo.
Passo 4
Precisamos achar
. Primeiro calcule a derivada:
onde escrevemos
como abreviação de
. Substituindo em
dá
o que simplifica para
Passo 5
Isolando
temos
Agora integramos em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
em
. A solução geral da equação é
que inclui o caso homogêneo como
, recuperando
.
Resposta
Para
:
Para
, solução geral: