Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
Passo 1
O exercício pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver o sistema de EDOs de segunda ordem acopladas, com condições iniciais. O conteúdo é transformar cada equação em álgebra no domínio de Laplace, resolver pra X(s) e Y(s) e depois aplicar a transformada inversa pra voltar pro tempo.
Passo 2
Vamos definir Lx(t)=X(s) e Ly(t)=Y(s) e usar as fórmulas padrão:
Lx''=s^2X(s)-s x(0)-x'(0),
Lx'=sX(s)-x(0),
Ly'=sY(s)-y(0),
Passo 3
Aplicando na primeira equação x''+x'+y'=0 e usando x(0)=1,;x'(0)=0,;y(0)=-1:
(s^2X - s) + (sX - 1) + (sY + 1) = 0
Passo 4
Agrupando termos em X(s) e Y(s) obtemos
X(s)(s^2+s) + sY(s) = s
Passo 5
Agora aplicamos na segunda equação y''+y'-4x'=0 com y(0)=-1,;y'(0)=5:
(s^2Y + s - 5) + (sY + 1) -4(sX -1) = 0
Passo 6
Que reorganiza pra
-4sX(s) + Y(s)(s^2+s) = -s
Passo 7
Temos então o sistema linear em X(s) e Y(s):
(s^2+s)X + sY = s, -4sX + (s^2+s)Y = -s
Passo 8
Calculamos o determinante
D = (s^2+s)^2 - (s)(-4s) = s^2l(s^2+2s+5r)
Passo 9
Determinante para X(s):
DX = s & s -s & s^2+s = s(s^2+s) - s(-s) = s^3+2s^2
Passo 10
Logo
X(s)=DXD = s^3+2s^2s^2(s^2+2s+5) = s+2s^2+2s+5
Passo 11
De modo análogo para Y(s):
DY = s^2+s & s -4s & -s = -(s^2+s)s +4s^2 = -s^3+3s^2
Passo 12
Portanto
Y(s)=DYD = -s^3+3s^2s^2(s^2+2s+5) = 3-ss^2+2s+5
Passo 13
Agora invertendo a transformada, note que s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2. Escrevendo
X(s)=(s+1)+1(s+1)^2+2^2,
Passo 14
temos
x(t)=e^-tcos(2t)+tfrac12 e^-tsin(2t)
Passo 15
E para Y(s)=-(s+1)+4(s+1)^2+2^2 damos a volta e obtemos