Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO lX^prime prime+X^prime+Y^prime=0 Y^prime prime+Y^prime-4 X^prime=0 x(0)=1, x^prime(0)=0 y(0)=-1, y^prime(0)=5

Passo 1

O exercício pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver o sistema de EDOs de segunda ordem acopladas, com condições iniciais. O conteúdo é transformar cada equação em álgebra no domínio de Laplace, resolver pra X(s) e Y(s) e depois aplicar a transformada inversa pra voltar pro tempo.

Passo 2

Vamos definir Lx(t)=X(s) e Ly(t)=Y(s) e usar as fórmulas padrão:
Lx''=s^2X(s)-s x(0)-x'(0),
Lx'=sX(s)-x(0),
Ly'=sY(s)-y(0),

Passo 3

Aplicando na primeira equação x''+x'+y'=0 e usando x(0)=1,;x'(0)=0,;y(0)=-1:
(s^2X - s) + (sX - 1) + (sY + 1) = 0

Passo 4

Agrupando termos em X(s) e Y(s) obtemos
X(s)(s^2+s) + sY(s) = s

Passo 5

Agora aplicamos na segunda equação y''+y'-4x'=0 com y(0)=-1,;y'(0)=5:
(s^2Y + s - 5) + (sY + 1) -4(sX -1) = 0

Passo 6

Que reorganiza pra
-4sX(s) + Y(s)(s^2+s) = -s

Passo 7

Temos então o sistema linear em X(s) e Y(s):
(s^2+s)X + sY = s, -4sX + (s^2+s)Y = -s

Passo 8

Calculamos o determinante
D = (s^2+s)^2 - (s)(-4s) = s^2l(s^2+2s+5r)

Passo 9

Determinante para X(s):
DX = s & s -s & s^2+s = s(s^2+s) - s(-s) = s^3+2s^2

Passo 10

Logo
X(s)=DXD = s^3+2s^2s^2(s^2+2s+5) = s+2s^2+2s+5

Passo 11

De modo análogo para Y(s):
DY = s^2+s & s -4s & -s = -(s^2+s)s +4s^2 = -s^3+3s^2

Passo 12

Portanto
Y(s)=DYD = -s^3+3s^2s^2(s^2+2s+5) = 3-ss^2+2s+5

Passo 13

Agora invertendo a transformada, note que s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2. Escrevendo
X(s)=(s+1)+1(s+1)^2+2^2,

Passo 14

temos
x(t)=e^-tcos(2t)+tfrac12 e^-tsin(2t)

Passo 15

E para Y(s)=-(s+1)+4(s+1)^2+2^2 damos a volta e obtemos
y(t)=-e^-tcos(2t)+2e^-tsin(2t)

Resposta

x(t)=e^{-t}\bigl(\cos2t+\tfrac12\sin2t\bigr),\quad y(t)=e^{-t}\bigl(-\cos2t+2\sin2t\bigr)

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