d yd x=x^3-x y^2x^2 y para y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona $ \frac{dy}{dx} $ com $ x $ e $ y $, e também uma condição inicial $ y(1) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para isolarmos $ y $ e $ x $, e então integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
dydx = x^3 - x y^2x^2 y
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo no numerador por $ x^{2} y $:
x^2 y
Então, agora temos:
dydx = x^3x^2 y - x y^2x^2 y = xy - yx

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para torná-la uma equação diferencial de separáveis. Vamos multiplicar ambos os lados por $ y $:
y
Rearranjando os termos:
y dydx = x - y^2x
Esse formato nos sugere que podemos procurar uma maneira de escrever a equação de forma que possamos integrá-la.

Passo 4

Observando a equação $ y \frac{dy}{dx} + \frac{y^{2}}{x} = x $, notamos que o lado esquerdo pode ser interpretado como a derivada de $ \frac{y^{2}}{2} $. De fato, se temos:
y dydx + y^2x = x
Então, podemos reescrever a equação como:
y^22
Isso nos leva a considerar se a equação pode ser ordenada de forma que seja possível aplicar um fator integrante para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos multiplicar toda a equação por $ 2 $ para simplificar os coeficientes:
2
Agora, reconhecemos que isso pode ser reescrito como:
ddx(y^2) + 2 y^2x = 2x
Podemos rearranjar para:
ddx(y^2) = 2x - 2 y^2x
Isso parece uma equação linear para $ y^{2} $.

Passo 6

Vamos definir $ u = y^{2} $. Então, $ \frac{du}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} $. Substituindo na equação:
u = y^2
Agora temos uma equação linear na forma padrão:
dudx = 2y dydx
Onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = 2x $.

Passo 7

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante $ \mu(x) $ que é dado por:
mu(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x^{2} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2
Simplificando:
mu(x) = x^2

Passo 8

Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(x) u $:
mu(x) u
Portanto, podemos reescrever a equação como:
ddx(x^2 u) = 2x u + x^2 dudx
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
ddx(x^2 u) = 2x^3
O que nos dá:
x

Passo 9

Lembrando que $ u = y^{2} $, substituímos de volta:
u = y^2
Dividindo ambos os lados por $ x^{2} $:
x^2 y^2 = x^42 + C

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Quando $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
y(1) = 1

Passo 11

Substituindo $ C = \frac{1}{2} $ na equação de $ y^{2} $:
C = 12
Podemos fatorar $ \frac{1}{2} $:
y^2

Passo 12

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial $ y(1) = 1 $, é:
y(1) = 1

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