para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona $ \frac{dy}{dx} $ com $ x $ e $ y $, e também uma condição inicial $ y(1) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para isolarmos $ y $ e $ x $, e então integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo no numerador por $ x^{2} y $:
Então, agora temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para torná-la uma equação diferencial de separáveis. Vamos multiplicar ambos os lados por $ y $:
Rearranjando os termos:
Esse formato nos sugere que podemos procurar uma maneira de escrever a equação de forma que possamos integrá-la.
Passo 4
Observando a equação $ y \frac{dy}{dx} + \frac{y^{2}}{x} = x $, notamos que o lado esquerdo pode ser interpretado como a derivada de $ \frac{y^{2}}{2} $. De fato, se temos:
Então, podemos reescrever a equação como:
Isso nos leva a considerar se a equação pode ser ordenada de forma que seja possível aplicar um fator integrante para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos multiplicar toda a equação por $ 2 $ para simplificar os coeficientes:
Agora, reconhecemos que isso pode ser reescrito como:
Podemos rearranjar para:
Isso parece uma equação linear para $ y^{2} $.
Passo 6
Vamos definir $ u = y^{2} $. Então, $ \frac{du}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} $. Substituindo na equação:
Agora temos uma equação linear na forma padrão:
Onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = 2x $.
Passo 7
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante $ \mu(x) $ que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x^{2} $:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(x) u $:
Portanto, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
O que nos dá:
Passo 9
Lembrando que $ u = y^{2} $, substituímos de volta:
Dividindo ambos os lados por $ x^{2} $:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Quando $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
Passo 11
Substituindo $ C = \frac{1}{2} $ na equação de $ y^{2} $:
Podemos fatorar $ \frac{1}{2} $:
Passo 12
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial $ y(1) = 1 $, é: