Utilizando transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicial :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
com as condições iniciais $ y(0) = y_0 $ e $ y’(0) = y_1 $.
Vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace, derivadas transformadas e como aplicar essas transformadas para resolver equações diferenciais lineares. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace da derivada de uma função, por exemplo, $ y’(t) $, é $ s Y(s) - y(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo. Sabemos que:
E para o lado direito:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na equação transformada:
Vamos distribuir os termos:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos que envolvem $ Y(s) $ e os termos constantes:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar $ Y(s) $:
Simplificando o denominador:
Então:
Podemos dividir todos os termos por 2:
Passo 7
Agora, vamos separar os termos:
Podemos reconhecer que a Transformada de Laplace inversa de $ \frac{1}{(s - a)^2} $ é $ t e^{a t} $. Então, aplicando a Transformada inversa:
Simplificando os termos com $ y_0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
ou, de forma simplificada: