Utilizando transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicial :
l 2 y^prime prime-12 y^prime+18 y=2 e^3 t y(0)=yo e y^prime(0)=y1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
2 y'' - 12 y' + 18 y = 2 e^3 t
com as condições iniciais $ y(0) = y_0 $ e $ y’(0) = y_1 $.
Vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace, derivadas transformadas e como aplicar essas transformadas para resolver equações diferenciais lineares. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace da derivada de uma função, por exemplo, $ y’(t) $, é $ s Y(s) - y(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Aplicando isso na nossa equação:
y'(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo. Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) = s^2 Y(s) - s y0 - y1
Ly' = s Y(s) - y(0) = s Y(s) - y0
Ly = Y(s)
E para o lado direito:
L2 e^3 t = 2s - 3

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação transformada:
2 (s^2 Y(s) - s y0 - y1) - 12 (s Y(s) - y0) + 18 Y(s) = 2s - 3
Vamos distribuir os termos:
2 s^2 Y(s) - 2 s y0 - 2 y1 - 12 s Y(s) + 12 y0 + 18 Y(s) = 2s - 3

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos que envolvem $ Y(s) $ e os termos constantes:
Y(s)
Simplificando:
(2 s^2 - 12 s + 18) Y(s) + (-2 s y0 + 12 y0 - 2 y1) = 2s - 3

Passo 6

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Simplificando o denominador:
Y(s) = 2s - 3 + 2 s y0 - 12 y0 + 2 y12 s^2 - 12 s + 18
Então:
2 s^2 - 12 s + 18 = 2(s^2 - 6 s + 9) = 2(s - 3)^2
Podemos dividir todos os termos por 2:
Y(s) = 2s - 3 + 2 s y0 - 12 y0 + 2 y12 (s - 3)^2

Passo 7

Agora, vamos separar os termos:
Y(s) = 1(s - 3)^2 + s y0(s - 3)^2 - 6 y0(s - 3)^2 + y1(s - 3)^2
Podemos reconhecer que a Transformada de Laplace inversa de $ \frac{1}{(s - a)^2} $ é $ t e^{a t} $. Então, aplicando a Transformada inversa:
1(s - a)^2
Simplificando os termos com $ y_0 $:
t e^a t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = t e^3 t + (-5 y0 + y1) t e^3 t
ou, de forma simplificada:
y(t) = (1 - 5 y0 + y1) t e^3 t

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