Considere a seguinte EDO,
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-4) y=0
Obtenha a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de x0=0 da solução y(x) que corresponde à maior das raízes da equação indicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - 4) y = 0
O objetivo é encontrar a relação de recorrência para os coeficientes de uma série de potências centrada em $ x_{0} = 0 $ para a solução $ y(x) $ que corresponde à maior raiz da equação indicial. Para resolver isso, vamos usar o método de Frobenius, que é útil para resolver EDOs com pontos singulares, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, precisamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes da série que queremos encontrar, e $ r $ é um expoente que determinaremos a seguir.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de $ y(x) $:
y(x)
y'(x) = sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1
Isso é necessário porque vamos substituir essas expressões na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para $ x^{2} y’’ $:
x^2 y''
Então:
x^2 cdot x^n + r - 2 = x^n + r
  1. Para $ x y’ $:
sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r
Então:
x y'
  1. Para $ x^{2} y $:
x cdot x^n + r - 1 = x^n + r
Então:
sumn=0^infty an (n + r) x^n + r
  1. Para $ -4 y $:
x^2 y
Então:
x^2 cdot x^n + r = x^n + r + 2

Passo 6

Agora, juntando tudo:
sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r + sumn=0^infty an (n + r) x^n + r + sumn=0^infty an x^n + r + 2 - 4 sumn=0^infty an x^n + r = 0
Queremos combinar os termos semelhantes para simplificar a expressão.

Passo 7

Vamos reindexar a terceira soma para que todos os termos tenham $ x^{n + r} $. Para isso, substituímos $ n $ por $ n - 2 $:
x^n + r
Agora, nossa equação fica:
n

Passo 8

Para que essa equação seja satisfeita para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Vamos escrever isso:
x
Simplificando os termos com $ a_n $:
x

Passo 9

Simplificando ainda mais:
an [ (n + r)^2 - (n + r) + (n + r) - 4 ] + an-2 = 0
an [ (n + r)^2 - 4 ] + an-2 = 0
Portanto, temos:
an = -an-2(n + r)^2 - 4

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes da série de potências é:
an = -an-2(n + r)^2 - 4

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