Considere a seguinte EDO,
Obtenha a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de
da solução
que corresponde à maior das raízes da equação indicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
O objetivo é encontrar a relação de recorrência para os coeficientes de uma série de potências centrada em $ x_{0} = 0 $ para a solução $ y(x) $ que corresponde à maior raiz da equação indicial. Para resolver isso, vamos usar o método de Frobenius, que é útil para resolver EDOs com pontos singulares, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, precisamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes da série que queremos encontrar, e $ r $ é um expoente que determinaremos a seguir.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de $ y(x) $:
Isso é necessário porque vamos substituir essas expressões na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Para $ x^{2} y’’ $:
Então:
- Para $ x y’ $:
Então:
- Para $ x^{2} y $:
Então:
- Para $ -4 y $:
Então:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Queremos combinar os termos semelhantes para simplificar a expressão.
Passo 7
Vamos reindexar a terceira soma para que todos os termos tenham $ x^{n + r} $. Para isso, substituímos $ n $ por $ n - 2 $:
Agora, nossa equação fica:
Passo 8
Para que essa equação seja satisfeita para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Vamos escrever isso:
Simplificando os termos com $ a_n $:
Passo 9
Simplificando ainda mais:
Portanto, temos:
Resposta
A relação de recorrência para os coeficientes da série de potências é: