Aplique
ou
conforme apropriado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é
. A instrução diz para aplicar
ou
conforme apropriado. Não há outras restrições. O objetivo final é obter uma antiderivada (primitiva) da função dada, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: escolho
. Justificativa: quando fazemos uma substituição
sua diferencial é
, e isso combina diretamente com o fator
que aparece na integral. Esse encaixe torna a integral muito simples. Explico brevemente por que isso é conveniente: a ideia da substituição é trocar
por uma nova variável
de modo que todo o
e partes da função sejam expressos em
e
, transformando uma integral complicada em uma mais simples. Aqui temos exatamente
que é a derivada de
, então
é a substituição natural.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Defino
Derivando ambos os lados em relação a
,
Portanto podemos substituir
por
na integral. A integral original
fica, trocando
por
e
por
,
Passo 4
Integro
. Uso a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 5
Volto para a variável original substituindo
na primitiva encontrada. Assim a antiderivada em termos de
é
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.