Aplique u=\sin x ou u=\cos x conforme apropriado.
\int \cos x \sin ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos x \sin^{3} x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \cos x \sin^{3} x. A instrução diz para aplicar u=\sin x ou u=\cos x conforme apropriado. Não há outras restrições. O objetivo final é obter uma antiderivada (primitiva) da função dada, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: escolho u=\sin x. Justificativa: quando fazemos uma substituição u=\sin x sua diferencial é du=\cos x\,dx, e isso combina diretamente com o fator \cos x\,dx que aparece na integral. Esse encaixe torna a integral muito simples. Explico brevemente por que isso é conveniente: a ideia da substituição é trocar x por uma nova variável u de modo que todo o dx e partes da função sejam expressos em u e du, transformando uma integral complicada em uma mais simples. Aqui temos exatamente \cos x\,dx que é a derivada de \sin x, então u=\sin x é a substituição natural.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Defino
u = \sin x.
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = \cos x\,dx.
Portanto podemos substituir \cos x\,dx por du na integral. A integral original
\int \cos x \sin^{3} x \, dx
fica, trocando \sin x por u e \cos x\,dx por du,
\int u^{3}\,du.

Passo 4

Integro \int u^{3}\,du. Uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 5

Volto para a variável original substituindo u=\sin x na primitiva encontrada. Assim a antiderivada em termos de x é
\frac{\sin^{4} x}{4}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando \frac{\sin^{4} x}{4} usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin^{4} x}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot 4\sin^{3} x \cdot \cos x = \sin^{3} x \cos x,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{4} x}{4}+C

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