Mude a variável em integrais definidas.
\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para mudar a variável na integral definida
\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}}\, d x.
Informações dadas:
\text{integrando: }2 x e^{x^{2}},\qquad \text{limites: }x=0\text{ a }x=1.
Objetivo: fazer uma troca de variável (substituição) para reescrever a integral com uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos uma substituição que simplifica o integrando. Note que dentro do expoente aparece x^{2} e fora aparece o fator 2x. Então vamos definir a nova variável
u = x^{2}.
Explicação didática: ao escolher u igual à expressão que aparece dentro da função complicada (aqui e^{x^{2}}), muitas vezes a derivada de u em relação a x aparece multiplicando essa expressão — exatamente o que temos com 2x. Isso facilita eliminar x e dx em favor de u e du.

Passo 3

Calcule o diferencial para substituir dx. Derivando u em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Portanto temos a igualdade útil para substituir no integrando:
2x\,dx = du.
Explicação: o diferencial du representa a variação infinitesimal de u; aqui ele aparece exatamente igual a 2x\,dx, então podemos trocar o produto 2x\,dx por du.

Passo 4

Mude também os limites de integração, porque a integral é definida. Substitua os valores de x na definição de u:
\text{quando }x=0,\; u = 0^{2}=0; \qquad \text{quando }x=1,\; u = 1^{2}=1.
Observação importante: em integrais definidas trocamos os limites, não precisamos voltar a expressar x em função de u para avaliá-los.

Passo 5

Agora substituímos tudo na integral original: 2x\,dx vira du, e^{x^{2}} vira e^{u}, e os limites de x=0 a x=1 viram u=0 a u=1. Logo
\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.
Esse é o resultado da mudança de variável (reescrita da integral).

Passo 6

Agora calculamos a integral em u. A primitiva de e^{u} é e^{u} (pois a derivada de e^{u} é e^{u}). Então
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left[e^{u}\right]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0}=e-1.
Explicação: avaliamos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtraímos.

Passo 7

Recapitulando de forma prática: fizemos a substituição u=x^{2}, usamos du=2x\,dx, ajustamos os limites para u\in[0,1], obtivemos \int_{0}^{1} e^{u}\,du e então avaliaremos para obter o valor numérico final.

Resposta

\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du = e-1

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