Mude a variável em integrais definidas.
Passo 1
O enunciado pede para mudar a variável na integral definida
Informações dadas:
Objetivo: fazer uma troca de variável (substituição) para reescrever a integral com uma nova variável.
Passo 2
Escolhemos uma substituição que simplifica o integrando. Note que dentro do expoente aparece
e fora aparece o fator
. Então vamos definir a nova variável
Explicação didática: ao escolher
igual à expressão que aparece dentro da função complicada (aqui
), muitas vezes a derivada de
em relação a
aparece multiplicando essa expressão — exatamente o que temos com
. Isso facilita eliminar
e
em favor de
e
.
Passo 3
Calcule o diferencial para substituir
. Derivando
em relação a
,
Portanto temos a igualdade útil para substituir no integrando:
Explicação: o diferencial
representa a variação infinitesimal de
; aqui ele aparece exatamente igual a
, então podemos trocar o produto
por
.
Passo 4
Mude também os limites de integração, porque a integral é definida. Substitua os valores de
na definição de
:
Observação importante: em integrais definidas trocamos os limites, não precisamos voltar a expressar
em função de
para avaliá-los.
Passo 5
Agora substituímos tudo na integral original:
vira
,
vira
, e os limites de
a
viram
a
. Logo
Esse é o resultado da mudança de variável (reescrita da integral).
Passo 6
Agora calculamos a integral em
. A primitiva de
é
(pois a derivada de
é
). Então
Explicação: avaliamos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtraímos.
Passo 7
Recapitulando de forma prática: fizemos a substituição
, usamos
, ajustamos os limites para
, obtivemos
e então avaliaremos para obter o valor numérico final.