Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X^prime=(rr 0 & 2 -1 & 3 ) X+binom1-1 e^t

Passo 1

Temos o sistema
X' = 0 & 2 -1 & 3X + 1 -1e^t
O conteúdo é resolução de sistemas lineares não homogêneos pelo método de variação de parâmetros. Para isso, vamos primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo X'=AX e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para o homogêneo X'=AX com A=0 & 2 -1 & 3, calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=lambda^2-3lambda+2, cujas raízes são lambda1=1 e lambda2=2.
Encontramos os autovetores
v1=21para lambda1=1, v2=11para lambda2=2
Logo as soluções fundamentais são X1=v1e^t e X2=v2e^2t.

Passo 3

A matriz fundamental Phi(t) reúne as soluções fundamentais como colunas, ou seja,
Phi(t)=2e^t & e^2t e^t & e^2t

Passo 4

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos Phi^-1(t). Como
detPhi(t)=2e^tcdot e^2t-e^tcdot e^2t=e^3t,
obtemos
Phi^-1(t)=1e^3te^2t & -e^2t -e^t & 2e^t =e^-t & -e^-t -e^-2t & 2e^-2t

Passo 5

Agora definimos g(t)=1-1e^t e calculamos
u(t)=Phi^-1(t)g(t)=2-3e^-t
Integramos componente a componente:
integral2,dt=2t, integral(-3e^-t),dt=3e^-t
Assim um vetor de primitiva é integralnu(t)dt=2t3e^-t

Passo 6

A solução particular vem de Xp(t)=Phi(t)integralnu(t)dt. Fazendo o produto,
Xp(t)=2e^t & e^2t e^t & e^2t 2t3e^-t =4t e^t+3e^t2t e^t+3e^t =e^t4t+32t+3
Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com essa particular.

Resposta

X(t)=C121e^t+C211e^2t+4t+32t+3e^t

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