(i) tan (x-pi / 2)=cos (x)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação tanl(x-tfracpi2r)=cos(x). O conteúdo envolve equações trigonométricas e vamos precisar da identidade que relaciona tan e cot.

Passo 2

Usando a identidade de deslocamento de tan, temos:
tanl(x-tfracpi2r)=-cot(x)=-cos(x)sin(x)

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos:
-cos(x)sin(x)=cos(x)
Multiplicando ambos os lados por sin(x) (lembrando de não anular o denominador), vem:
-cos(x)=cos(x),sin(x)

Passo 4

Reorganizando, chegamos a:
cos(x)l(sin(x)+1r)=0
Isso gera duas possibilidades:
  1. cos(x)=0
  2. sin(x)=-1.

Passo 5

Verificando o domínio de tan(x-tfracpi2), precisamos de sin(x)neq0, mas ambas as soluções têm sin(x)=pm1, então são válidas. As soluções são:
  • cos(x)=0 x=tfracpi2+kpi, kinZ
  • sin(x)=-1 x=tfrac3pi2+2kpi, kinZ, o que já está contido em x=tfracpi2+kpi.

Resposta

x=tfracpi2+kpi,;kinZ

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