Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X^prime=(rr 1 & 2 -12 & 1 ) X+binomcos e c tsec t

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear inhomogêneo de primeira ordem
X'=A,X+f(t), A=1&2-tfrac12&1,;f(t)=csc tsec t
Precisamos usar variação de parâmetros: achar a matriz fundamental da parte homogênea e então montar a solução geral usando X(t)=Φ(t)\bigl(C+\intΦ^{-1}(t)f(t),dt\bigr).

Passo 2

Para resolver a parte homogênea X’=AX notamos que A=I+J com
J=0&2-tfrac12&0, J^2=-I
Isso implica
Φ(t)=e^At=e^tl(Icos t+Jsin tr)=e^tcos t&2sin t-tfrac12sin t&cos t
é uma matriz fundamental.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, tomamos
Xp(t)=Φ(t)integral Φ^-1(t),f(t),dt
Como Φ{-1}(t)=e{-t}(I\cos t-J\sin t)
= e^-tcos t&-2sin ttfrac12sin t&cos t,
então
Φ^-1(t)f(t)=e^-tcos t&-2sin ttfrac12sin t&cos tcsc tsec t =e^-tcot t-2tan ttfrac32

Passo 4

Agora integramos cada componente:
I1(t)=integral e^-t(cot t-2tan t),dt, I2(t)=integral e^-ttfrac32,dt=-tfrac32e^-t+ extconst
Absorvemos constantes em C. Por fim,
X(t)=Φ(t)C1C2+Φ(t)I1(t)-tfrac32e^-t

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral fica expressa em função dos integrais de variação de parâmetros conforme abaixo.

Resposta

[\nX(t)=e^t cos t&2sin t-tfrac12sin t&cos t\biggl{C+ integral^t e^-s(cot s-2tan s),ds[6pt]-tfrac32e^-t\biggr}\n]

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