Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear inhomogêneo de primeira ordem
Precisamos usar variação de parâmetros: achar a matriz fundamental da parte homogênea e então montar a solução geral usando X(t)=Φ(t)\bigl(C+\intΦ^{-1}(t)f(t),dt\bigr).
Passo 2
Para resolver a parte homogênea X’=AX notamos que A=I+J com
Isso implica
é uma matriz fundamental.
Passo 3
Pela variação de parâmetros, tomamos
Como Φ{-1}(t)=e{-t}(I\cos t-J\sin t)
então
Passo 4
Agora integramos cada componente:
Absorvemos constantes em C. Por fim,
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral fica expressa em função dos integrais de variação de parâmetros conforme abaixo.
Resposta
[\nX(t)=e^t
\biggl{C+
\biggr}\n]