Para cada uma das seguintes parametrizações, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
r(t)=(e^t, 29 e^2 t), t in R

Passo 1

A parametrização dada é r(t) = (e^t, tfrac29e^2t), com tinR. Vamos transformar isso em equação cartesiana e, depois, esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é “conversão de parametrização para equação cartesiana”.

Passo 2

Da primeira componente temos x = e^t. Como a exponencial é sempre positiva, isso implica x>0. Agora podemos isolar t fazendo t = ln x.
Na segunda componente, y = tfrac29e^2t. Substituindo t = ln x obtemos
y = 29e^2ln x = 29(e^ln x)^2 = 29x^2

Passo 3

Logo, a curva satisfaz a equação cartesiana y = tfrac29x^2 com domínio x>0.
Para esboçar: é o ramo direito de uma parábola com vértice na origem. Conforme tto -infty, x=e^tto0^+ e yto0^+; conforme tto+infty, x,yto+infty. A flecha deve indicar que o parâmetro cresce levando o ponto para longe do eixo y.

Resposta

A equação cartesiana é y = tfrac29x^2 para x>0, e a curva é o ramo direito da parábola de vértice na origem.

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