Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left(
\right) X+\binom{4 e^{2 t}}{4 e^{4 t}}, X(0)=\binom{1}{1}
X^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não homogenéo por variação de parâmetros. O sistema é
O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar variação de parâmetros para sistemas.
Passo 2
Primeiro resolvemos o sistema homogenéo associado
Calculamos autovalores resolvendo
:
Os próprios vetores são para
:
, e para
:
. Assim
Passo 3
Montamos a matriz fundamental
cujas colunas são as soluções básicas:
Para variação de parâmetros, usamos
onde
.
Passo 4
Calculemos
. O determinante é
e
Passo 5
Agora achamos
Integramos componente a componente escolhendo constantes de integração zero para achar uma particular:
Passo 6
A solução particular é
Fazendo as contas obtemos
Passo 7
A solução geral é
Aplicamos a condição inicial
. Note que
, logo
Resolvendo, achamos
.
Passo 8
Substituindo em
, a solução final é
Resposta
$$
X(t)= .
$$
X(t)=
$$