Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( rr3 & -1 -1 & 3\right) X+\binom{4 e^{2 t}}{4 e^{4 t}}, X(0)=\binom{1}{1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogenéo por variação de parâmetros. O sistema é
X'=3 & -1 -1 & 3X+4e^2t4e^4t, X(0)=11
O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar variação de parâmetros para sistemas.

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogenéo associado
X'h=AXh, A=3 & -1 -1 & 3
Calculamos auto­valores resolvendo det(A-lambda I)=0:
(3-lambda)^2-(-1)^2=0implieslambda1=2, lambda2=4
Os próprios vetores são para lambda1=2: v1=(1,1)^T, e para lambda2=4: v2=(1,-1)^T. Assim
Xh(t)=C1e^2t11+C2e^4t1-1

Passo 3

Montamos a matriz fundamental Y(t) cujas colunas são as soluções básicas:
Y(t)=e^2t & e^4te^2t & -e^4t
Para variação de parâmetros, usamos
Xp(t)=Y(t)integral Y(t)^-1F(t),dt,
onde F(t)=(4e^2t,4e^4t)^T.

Passo 4

Calculemos Y^-1(t). O determinante é
det Y=-2e^6t,
e
Y^-1(t)=1-2e^6t-e^4t & -e^4t-e^2t & e^2t =tfrac12e^2t & tfrac12e^2ttfrac12e^4t & -tfrac12e^4t

Passo 5

Agora achamos
u'(t)=Y^-1(t)F(t) =2+2e^2t2e^-2t-2
Integramos componente a componente escolhendo constantes de integração zero para achar uma particular:
u1(t)=integral(2+2e^2t)dt=2t+e^2t, nu2(t)=integral(2e^-2t-2)dt=-e^-2t-2t

Passo 6

A solução particular é
Xp(t)=Y(t)nu(t) =e^2t&e^4te^2t&-e^4t 2t+e^2t-e^-2t-2t
Fazendo as contas obtemos
Xp(t)=(2t-1)e^2t+(1-2t)e^4t(2t+1)e^2t+(1+2t)e^4t

Passo 7

A solução geral é
X(t)=Xh(t)+Xp(t)
Aplicamos a condição inicial X(0)=(1,1)^T. Note que Xp(0)=(0,2)^T, logo
X(0)=C1+C2C1-C2+02= 11
Resolvendo, achamos C1=0, C2=1.

Passo 8

Substituindo em Xh+Xp, a solução final é
X(t)=(2t-1)e^2t+2(1-t)e^4t(2t+1)e^2t+2t e^4t

Resposta

$$
X(t)= X(t)=(2t-1)e^2t+2(1-t)e^4t(2t+1)e^2t+2t,e^4t .
$$

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