1. Utilize a matriz exponencial para achar a solução geral do sistema:
X^prime=(ll 1 & 0 0 & 2 ) X+binomte^4 t

Passo 1

Temos o sistema X'=AX+f(t), onde A=1&00&2 e f(t)=binomte^4t. O conteúdo aqui é exponencial de matriz e método da variação de parâmetros para sistemas lineares não homogêneos.

Passo 2

Como A é diagonal, seu exponencial é fácil de achar: basta expor cada autovalor. Assim,
e^At=e^t&00&e^2t

Passo 3

A solução geral do sistema é dada por
X(t)=e^AtC+integral0^te^A(t-s)f(s),ds, onde C=binomC1C2 é o vetor de constantes arbitrárias. Vamos calcular a integral componente a componente.

Passo 4

Para a primeira componente, precisamos de
integral0^te^1,(t-s),s,ds=e^tintegral0^ts e^-sds Resolvendo integral s e^-sds por partes com u=s, dv=e^-sds:
integral s e^-sds=-s e^-s-e^-s+K Avaliando de 0 a t:
integral0^ts e^-sds=[-s e^-s-e^-s]0^t=-(t+1)e^-t+1 Multiplicando por e^t
integral0^te^t-ss,ds=e^tl(1-(t+1)e^-tr)=e^t-(t+1)

Passo 5

Para a segunda componente, fazemos
integral0^te^2(t-s)e^4sds=e^2tintegral0^te^2sds Como integral e^2sds=tfrac12e^2s+K, temos
integral0^te^2sds=e^2t-12, logo
integral0^te^2(t-s)e^4sds=e^2tcdote^2t-12=e^4t-e^2t2

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
x1(t)=C1e^t+l(e^t-(t+1)r), x2(t)=C2e^2t+e^4t-e^2t2

Resposta

A solução geral do sistema é
X(t)=x1(t)x2(t) =C1e^t+e^t-(t+1)C2e^2t+tfrace^4t-e^2t2,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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