Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \dfrac{x}{e^{2x} - 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da função que formam o quociente. Temos $ u(x) = x $ no numerador e $ v(x) = e^{2x} - 1 $ no denominador.
Passo 3
Para derivar um quociente $ \dfrac{u}{v} $, usamos a regra do quociente, que é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Calculando $ u’(x) $:
A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
Passo 5
Calculando $ v’(x) $:
A derivada de $ e^{2x} $ requer a regra da cadeia. Sabemos que:
Aqui, $ u = 2x $, então $ u’ = 2 $. Portanto:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Passo 8
Portanto, a derivada final fica:
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = \dfrac{e^{2x}(1 - 2x) - 1}{(e^{2x} - 1)^2} $.