Calcule as derivadas das funções:
f(x)=xe^2 x-1

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \dfrac{x}{e^{2x} - 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função que formam o quociente. Temos $ u(x) = x $ no numerador e $ v(x) = e^{2x} - 1 $ no denominador.

Passo 3

Para derivar um quociente $ \dfrac{u}{v} $, usamos a regra do quociente, que é dada por:
dfracuv
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Calculando $ u’(x) $:
u'(x)
A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.

Passo 5

Calculando $ v’(x) $:
v'(x)
A derivada de $ e^{2x} $ requer a regra da cadeia. Sabemos que:
v(x) = e^2x - 1
Aqui, $ u = 2x $, então $ u’ = 2 $. Portanto:
e^2x

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = dfracu'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Substituindo os valores encontrados:
f'(x) = dfrac1 cdot (e^2x - 1) - x cdot 2e^2x(e^2x - 1)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (e^2x - 1) - x cdot 2e^2x = e^2x - 1 - 2x e^2x = e^2x(1 - 2x) - 1

Passo 8

Portanto, a derivada final fica:
f'(x) = dfrace^2x(1 - 2x) - 1(e^2x - 1)^2

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = \dfrac{e^{2x}(1 - 2x) - 1}{(e^{2x} - 1)^2} $.

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