Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X^prime=(rr 3 & -1 -1 & 3 ) X+binom4 e^2 t4 e^4 t, X(0)=binom11

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o sistema inhomogêneo
X'=3 & -1-1 & 3X + binom4e^2t4e^4t, X(0)=binom11
O conteúdo é equações diferenciais lineares inhomogêneas e vamos usar variação de parâmetros: precisar achar a solução geral do homogêneo (matriz fundamental), sua inversa e aplicar a fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Para resolver o homogêneo X'=AX com
A=3 & -1-1 & 3,
calculamos autovalores e autovetores. O polinômio característico dá lambda1=4 e lambda2=2. Vetores próprios:
v1=1-1 para lambda1=4 e v2=11 para lambda2=2.
A matriz fundamental fica
Phi(t)=l[v1e^4t,;v2e^2tr] =e^4t & e^2t-e^4t & e^2t

Passo 3

Agora calculamos a inversa de Phi(t). Como
detPhi(t)=e^4tcdot e^2t-(-e^4t)cdot e^2t=2e^6t,
temos
Phi^-1(t)=12e^6te^2t & -e^2te^4t & e^4t

Passo 4

Em seguida aplicamos variação de parâmetros: precisamos de Phi^-1(t)f(t) com f(t)=binom4e^2t4e^4t. Fazendo o produto,
Phi^-1(t)f(t)=2(e^-2t-1)2(1+e^2t)
Integrando termo a termo,
integralPhi^-1f,dt=-e^-2t-2t2t+e^2t+C,
sendo C=(C1,C2)^T vetor de constantes.

Passo 5

A solução geral é
X(t)=Phi(t)l(C + integralPhi^-1f,dtr) =Phi(t)C1 - e^-2t-2tC2 +2t+e^2t
Impondo a condição inicial X(0)=binom11, obtemos o sistema
C1+C2=1, -C1+C2=-1,
cuja solução é C1=1, C2=0.

Passo 6

Substituindo C1=1, C2=0 e simplificando, chegamos a
X(t)=(2-2t)e^4t + (2t-1)e^2t(2t+1)e^2t + 2t e^4t

Resposta

X(t)=(2-2t)e^4t + (2t-1)e^2t(2t+1)e^2t + 2t e^4t

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