Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o sistema inhomogêneo
O conteúdo é equações diferenciais lineares inhomogêneas e vamos usar variação de parâmetros: precisar achar a solução geral do homogêneo (matriz fundamental), sua inversa e aplicar a fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Para resolver o homogêneo
com
calculamos autovalores e autovetores. O polinômio característico dá
e
. Vetores próprios:
para
e
para
.
A matriz fundamental fica
A matriz fundamental fica
Passo 3
Agora calculamos a inversa de
. Como
temos
Passo 4
Em seguida aplicamos variação de parâmetros: precisamos de
com
. Fazendo o produto,
Integrando termo a termo,
sendo
vetor de constantes.
Passo 5
A solução geral é
Impondo a condição inicial
, obtemos o sistema
cuja solução é
,
.
Passo 6
Substituindo
,
e simplificando, chegamos a