O conjunto de todos os pontos (x, y) que estão igualmente distantes dos pontos P1=(-1,-3) e P2=(5,1) é a mediatriz do segmento que une esses pontos. Encontre sua equação:
Achando o ponto médio do segmento dado e utilizando um coeficiente angular adequado.

Passo 1

O enunciado pede a equação da mediatriz do segmento que une os pontos P₁(–1, –3) e P₂(5, 1). A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de P₁ e P₂. Para traçá-la, a gente precisa: encontrar o ponto médio do segmento, calcular o coeficiente angular da reta P₁P₂, usar a condição de perpendicularidade para achar o coeficiente da mediatriz e, por fim, montar a equação da reta.

Passo 2

O ponto médio M entre P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂) é dado por
M=l(x₁+x₂2,y₁+y₂2r)
Substituindo P₁(–1, –3) e P₂(5, 1) temos
M=l(-1+52,-3+12r)=(2,-1)

Passo 3

O coeficiente angular m da reta que passa por P₁ e P₂ é
m=y₂-y₁x₂-x₁=1-(-3)5-(-1)=46=23
Isso confirma o ângulo de inclinação da reta P₁P₂.

Passo 4

Como a mediatriz é perpendicular a P₁P₂, seu coeficiente angular m_⊥ satisfaz m·m_⊥ = –1. Logo,
m⊥=-1m=-12/3=-32

Passo 5

Agora montamos a equação da mediatriz passando por M(2, –1) com coeficiente angular –3/2. Usando a forma ponto-inclinação:
y - y0 = m⊥(x - x0)
Temos
y + 1 = -32(x - 2)
Distribuindo e isolando y:
y + 1 = -32x + 3
y = -32x + 3 - 1
y = -32x + 2

Resposta

y = -32x + 2

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