O conjunto de todos os pontos
que estão igualmente distantes dos pontos
e
é a mediatriz do segmento que une esses pontos. Encontre sua equação:
Achando o ponto médio do segmento dado e utilizando um coeficiente angular adequado.
Achando o ponto médio do segmento dado e utilizando um coeficiente angular adequado.
Passo 1
O enunciado pede a equação da mediatriz do segmento que une os pontos P₁(–1, –3) e P₂(5, 1). A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de P₁ e P₂. Para traçá-la, a gente precisa: encontrar o ponto médio do segmento, calcular o coeficiente angular da reta P₁P₂, usar a condição de perpendicularidade para achar o coeficiente da mediatriz e, por fim, montar a equação da reta.
Passo 2
O ponto médio M entre P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂) é dado por
Substituindo P₁(–1, –3) e P₂(5, 1) temos
Passo 3
O coeficiente angular m da reta que passa por P₁ e P₂ é
Isso confirma o ângulo de inclinação da reta P₁P₂.
Passo 4
Como a mediatriz é perpendicular a P₁P₂, seu coeficiente angular m_⊥ satisfaz m·m_⊥ = –1. Logo,
Passo 5
Agora montamos a equação da mediatriz passando por M(2, –1) com coeficiente angular –3/2. Usando a forma ponto-inclinação:
Temos
Distribuindo e isolando y: