Ao apontar seu telescópio para o Sol, Galileu descobriu em 1610 que a esfera solar não era perfeita, mas apresentava manchas. Hoje sabe-se que o nível de atividade solar está relacionado com o fenômeno da ocorrência das manchas solares, isto é, regiões da superfície solar nas quais a temperatura é significativamente menor do que em seus arredores. Um maior número de manchas indica maior atividade solar e um menor número de manchas indica menor atividade solar. Um modelo aproximado para o número de manchas solares no período de 2009 a 2014 é dado pela equação
na qual
é medido em anos desde 2010. Determine em que momento nesse período (mês e ano aproximadamente) ocorrerá o período de máxima atividade solar. Qual será o número de manchas no instante de máxima atividade? Justifique cuidadosamente a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um modelo aproximado para o número de manchas solares entre 2009 e 2014 por meio da função f(t) = -4 t³ + 9 t² + 30 t + 10, onde t é o tempo em anos desde 2010. Precisamos achar o instante (t no intervalo de -1 a 4) em que f atinge seu valor máximo e determinar esse valor. Vamos usar derivadas para encontrar extremos e depois testar os pontos críticos e as extremidades do intervalo.
Passo 2
Para encontrar os extremos de f, primeiro calculamos a derivada f’(t).
Passo 3
Agora resolvemos f’(t) = 0 para achar os pontos críticos.
Dividindo por -6:
. As soluções são
Passo 4
Os candidatos a máximo no intervalo
são t = -1 (extremidade), t = 2{,}5 (crítico) e t = 4 (extremidade). Vamos avaliar f em cada um:
Passo 5
Comparando, o maior valor é f(2{,}5) = 78{,}75. Portanto, o máximo ocorre em t = 2{,}5.
Passo 6
Convertendo t = 2{,}5 anos após janeiro de 2010 temos 2 anos e meio, ou seja, cerca de junho de 2012. O número de manchas solares nesse instante é aproximadamente 78{,}75, isto é, cerca de 79 manchas.
Resposta
Máxima atividade em junho de 2012, com aproximadamente 79 manchas solares.