Ao apontar seu telescópio para o Sol, Galileu descobriu em 1610 que a esfera solar não era perfeita, mas apresentava manchas. Hoje sabe-se que o nível de atividade solar está relacionado com o fenômeno da ocorrência das manchas solares, isto é, regiões da superfície solar nas quais a temperatura é significativamente menor do que em seus arredores. Um maior número de manchas indica maior atividade solar e um menor número de manchas indica menor atividade solar. Um modelo aproximado para o número de manchas solares no período de 2009 a 2014 é dado pela equação
f(t)=-4 t^3+9 t^2+30 t+10
na qual t é medido em anos desde 2010. Determine em que momento nesse período (mês e ano aproximadamente) ocorrerá o período de máxima atividade solar. Qual será o número de manchas no instante de máxima atividade? Justifique cuidadosamente a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um modelo aproximado para o número de manchas solares entre 2009 e 2014 por meio da função f(t) = -4 t³ + 9 t² + 30 t + 10, onde t é o tempo em anos desde 2010. Precisamos achar o instante (t no intervalo de -1 a 4) em que f atinge seu valor máximo e determinar esse valor. Vamos usar derivadas para encontrar extremos e depois testar os pontos críticos e as extremidades do intervalo.

Passo 2

Para encontrar os extremos de f, primeiro calculamos a derivada f’(t).
f'(t) = ddt(-4t^3 + 9t^2 + 30t + 10) = -12t^2 + 18t + 30

Passo 3

Agora resolvemos f’(t) = 0 para achar os pontos críticos.
-12t^2 + 18t + 30 = 0
Dividindo por -6: 2t^2 - 3t - 5 = 0. As soluções são
t = 3 pm raiz9 + 404 = 3 pm 74 implies t = 2,5 ;ou; t = -1

Passo 4

Os candidatos a máximo no intervalo [-1,4] são t = -1 (extremidade), t = 2{,}5 (crítico) e t = 4 (extremidade). Vamos avaliar f em cada um:
f(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1)^2 + 30(-1) + 10 = 4 + 9 - 30 + 10 = -7
f(2,5) = -4(2,5)^3 + 9(2,5)^2 + 30(2,5) + 10 = -62,5 + 56,25 + 75 + 10 = 78,75
f(4) = -4(4)^3 + 9(4)^2 + 30(4) + 10 = -256 + 144 + 120 + 10 = 18

Passo 5

Comparando, o maior valor é f(2{,}5) = 78{,}75. Portanto, o máximo ocorre em t = 2{,}5.

Passo 6

Convertendo t = 2{,}5 anos após janeiro de 2010 temos 2 anos e meio, ou seja, cerca de junho de 2012. O número de manchas solares nesse instante é aproximadamente 78{,}75, isto é, cerca de 79 manchas.

Resposta

Máxima atividade em junho de 2012, com aproximadamente 79 manchas solares.

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