Safendo que f^prime(x)=x cos (x3) e f(0)=0, calcule f(pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a derivada da função e sabe que . Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral, que é justamente o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada nos dá a taxa de variação de . Para encontrar a função , precisamos integrar . A integral de de 0 a nos dará a variação total de nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente:
f(pi) = f(0) + integral0^pi f'(x) , dx
Sabemos que f(pi) = integral0^pi x cos(x3) , dx , então simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é aplicada quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
u = x Rightarrow du = dx
Escolhemos:
dv = cos(x3) dx Rightarrow v = 3 sin(x3)

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral x cos(x3) dx = x cdot 3 sin(x3) - integral 3 sin(x3) dx
A segunda integral fica:
integral 3 sin(x3) dx = -9 cos(x3) + C
Então, juntando tudo:
integral x cos(x3) dx = 3x sin(x3) + 9 cos(x3) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a f(pi) = [3x sin(x3) + 9 cos(x3)]0^pi :
3pi sin(pi3) + 9 cos(pi3) = 3pi (raiz32) + 9 (12) = 3pi raiz32 + 92
Calculando em 3 cdot 0 cdot sin(0) + 9 cos(0) = 0 + 9 = 9 :
f(pi) = (3pi raiz32 + 92) - 9 = 3pi raiz32 + 92 - 182 = 3pi raiz3 - 92
Em :
Subtraindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor de f(pi) = 3pi raiz3 - 92 é:

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