Safendo que
e
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a derivada da função
e sabe que
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral, que é justamente o processo inverso da derivada.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a derivada
nos dá a taxa de variação de
. Para encontrar a função
, precisamos integrar
. A integral de
de 0 a
nos dará a variação total de
nesse intervalo.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é aplicada quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula:
A segunda integral fica:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Calculando em
:
Em
:
Subtraindo os valores:
Resposta
Portanto, o valor de
é: