Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Precisamos decompor a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos utilizar a técnica de frações parciais. Isso significa que vamos escrever a expressão racional
como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir cada termo do lado direito:
-
se expande para -
se expande para -
se expande para
Somando tudo, temos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos do lado esquerdo e direito:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo esse sistema de equações:
- De
, temos - Substituindo
na segunda equação: - Substituindo
na terceira equação: - E da quarta equação:
Usando
, encontramos
. Substituindo na quarta equação:
Resolvendo com
, encontramos
,
,
e
.
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
,
e
, a fração se decompõe assim:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
- Para
, fazemos , então , resultando em . - Para
, reconhecemos a forma da integral de , que é .
- Para
-
-
(usando a regra )