Calcule a integral integral 4 x^3+x^2+x-76(x^2+9)(x+1)^2 d x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Precisamos decompor a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a técnica de frações parciais. Isso significa que vamos escrever a expressão racional 4x^3 + x^2 + x - 76(x^2 + 9)(x + 1)^2 = Ax + Bx^2 + 9 + Cx + 1 + D(x + 1)^2 como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 4x^3 + x^2 + x - 76 = (Ax + B)(x + 1)^2 + C(x^2 + 9)(x + 1) + D(x^2 + 9) para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito:
  1. (A + C)x^3 + (2A + B + C + D)x^2 + (A + 2B + 9C)x + (B + 9C + 9D) = 4x^3 + x^2 + x - 76 se expande para
  2. se expande para
  3. se expande para
Somando tudo, temos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos do lado esquerdo e direito:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações:
  1. De B + 9C + 9(C - 7 - B) = -76 Rightarrow -8B + 18C = -13 , temos
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. E da quarta equação:
Usando , encontramos . Substituindo na quarta equação:
Resolvendo com , encontramos , , e .

Passo 7

Agora que temos os valores de 4x^3 + x^2 + x - 76(x^2 + 9)(x + 1)^2 = 4.5x + 0.5x^2 + 9 - 0.5x + 1 - 8(x + 1)^2 , , e , a fração se decompõe assim:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
    • Para , fazemos , então , resultando em .
    • Para , reconhecemos a forma da integral de , que é .
  1. (usando a regra )

Resposta

integral 4x^3 + x^2 + x - 76(x^2 + 9)(x + 1)^2 , dx = 2.25 ln(x^2 + 9) + 0.5 arctan(x3) - 0.5 ln|x + 1| + 8x + 1 + C

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