Apopulaçâo P(t) de uma colônia de bactérias t horas após a introdução de uma toxina está variando a uma taxa P^prime(t)=(1-0,5 t) e^0.5 t milhares de bactérias por hora. De quanto varia a população durante a quarta hora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a população $ \mathrm{P}(\mathrm{t}) $ de uma colônia de bactérias que muda ao longo do tempo depois que uma toxina é introduzida. A taxa de variação dessa população é dada por $ \mathrm{P}^{\prime}(\mathrm{t}) = (1 - 0,5\mathrm{t}) \mathrm{e}^{0,5\mathrm{t}} $ milhares de bactérias por hora. Nosso objetivo aqui é descobrir de quanto a população muda durante a quarta hora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar a variação total a partir da taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação $ \mathrm{P}^{\prime}(\mathrm{t}) $ nos diz como a população está mudando em cada instante de tempo. Para encontrar a variação total da população durante a quarta hora, ou seja, entre as horas 3 e 4, devemos calcular a integral dessa taxa de variação nesse intervalo.

Passo 3

Vamos configurar a integral que representa a variação da população entre t = 3 e t = 4:
De

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos definir:
u = 1 - 0,5t Rightarrow du = -0,5 , dt
dv = e^0,5t , dt Rightarrow v = 21 e^0,5t = 2 e^0,5t
Aplicando a fórmula da integração por partes $ \int u , \mathrm{d}v = uv - \int v , \mathrm{d}u $, temos:
integral u , dv = uv - integral v , du
Simplificando:
integral (1 - 0,5t) e^0,5t , dt = (1 - 0,5t) cdot 2 e^0,5t - integral 2 e^0,5t cdot (-0,5) , dt
= 2(1 - 0,5t) e^0,5t + integral e^0,5t , dt
= 2(1 - 0,5t) e^0,5t + 21 e^0,5t + C
= 2(1 - 0,5t + 1) e^0,5t + C
= 2(2 - 0,5t) e^0,5t + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de t = 3 a t = 4:
De
= 0 cdot e^2 - 1 cdot e^1,5
= -e^1,5
Convertendo para milhares de bactérias:
Deé

Resposta

Durante a quarta hora, a população da colônia de bactérias diminuiu aproximadamente $ 4,48 $ milhares de bactérias.

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