Apopulaçâo
de uma colônia de bactérias t horas após a introdução de uma toxina está variando a uma taxa
milhares de bactérias por hora. De quanto varia a população durante a quarta hora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a população $ \mathrm{P}(\mathrm{t}) $ de uma colônia de bactérias que muda ao longo do tempo depois que uma toxina é introduzida. A taxa de variação dessa população é dada por $ \mathrm{P}^{\prime}(\mathrm{t}) = (1 - 0,5\mathrm{t}) \mathrm{e}^{0,5\mathrm{t}} $ milhares de bactérias por hora. Nosso objetivo aqui é descobrir de quanto a população muda durante a quarta hora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar a variação total a partir da taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação $ \mathrm{P}^{\prime}(\mathrm{t}) $ nos diz como a população está mudando em cada instante de tempo. Para encontrar a variação total da população durante a quarta hora, ou seja, entre as horas 3 e 4, devemos calcular a integral dessa taxa de variação nesse intervalo.
Passo 3
Vamos configurar a integral que representa a variação da população entre t = 3 e t = 4:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos definir:
Aplicando a fórmula da integração por partes $ \int u , \mathrm{d}v = uv - \int v , \mathrm{d}u $, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de t = 3 a t = 4:
Convertendo para milhares de bactérias:
Resposta
Durante a quarta hora, a população da colônia de bactérias diminuiu aproximadamente $ 4,48 $ milhares de bactérias.