Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.
f(x)=ln (sen h x)x

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de
f(x)=ln(sinh x)x
Isso envolve: derivada de logaritmo natural (regra da cadeia), derivada de funções hiperbólicas ( sinh x e cosh x) e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=ln(sinh x)
Por regra da cadeia, temos
u'(x)=(sinh x)'sinh x=cosh xsinh x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente para
f(x)=u(x)x,
que diz
f'(x)=u'(x),x-u(x)cdot1x^2

Passo 4

Substituindo u(x)=ln(sinh x) e u'(x)=cosh x/sinh x na expressão do quociente e simplificando, obtemos
f'(x)=xcosh xsinh x-ln(sinh x)x^2= raccosh xxsinh x-ln(sinh x)x^2

Resposta

f'(x)=cosh xxsinh x-ln(sinh x)x^2

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