Após t semanas, as contribuições para uma campanha beneficente estavam variando à taxa de 2.000 te^-0.2 cdot t reais por semana. Qual foi quantia levantada nas primeiras 5 semanas?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação das contribuições é de 2000 e^{−0.2t} reais por semana. Para saber o total levantado em um intervalo, a gente usa integral definida dessa taxa: esse é o conceito básico de integração aplicada a taxas. Vamos montar a integral que dá o montante acumulado nas primeiras 5 semanas:
integral0^5 2000,e^-0.2t,dt

Passo 2

Agora calculamos a primitiva de 2000 e^{−0.2t}. Como integral e^atdt=tfrac1a e^at, temos:
integral 2000,e^-0.2tdt = 2000 cdot l(1-0.2e^-0.2tr) + C = -10000,e^-0.2t + C

Passo 3

Aplicamos os limites de 0 a 5 nessa primitiva:
l[-10000,e^-0.2tr]0^5 = -10000,e^-0.2cdot5 - l(-10000,e^-0.2cdot0r)
Substituindo e simplificando:
-10000,e^-1 + 10000 = 10000l(1 - e^-1r)
Esse valor é a quantia total arrecadada nas primeiras 5 semanas.

Resposta

10000\bigl(1 - e^{-1}\bigr) reais

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