Após t semanas, as contribuições para uma campanha beneficente estavam variando à taxa de
reais por semana. Qual foi quantia levantada nas primeiras 5 semanas?
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de variação das contribuições é de 2000 e^{−0.2t} reais por semana. Para saber o total levantado em um intervalo, a gente usa integral definida dessa taxa: esse é o conceito básico de integração aplicada a taxas. Vamos montar a integral que dá o montante acumulado nas primeiras 5 semanas:
Passo 2
Agora calculamos a primitiva de 2000 e^{−0.2t}. Como
, temos:
Passo 3
Aplicamos os limites de 0 a 5 nessa primitiva:
Substituindo e simplificando:
Esse valor é a quantia total arrecadada nas primeiras 5 semanas.
Resposta
10000\bigl(1 - e^{-1}\bigr) reais