Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
3850

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a resistência compressiva seja maior que 3850 psi, sabendo que após 28 dias a resistência segue uma distribuição normal com média 4000 psi e desvio padrão 120 psi.
Dados relevantes:
\mu = 4000,\qquad \sigma = 120,\qquad \text{queremos } P(X>3850).

Passo 2

O que é preciso saber (aula rápida): quando uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização: transformamos X numa variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é o valor da variável original, \mu a média e \sigma o desvio padrão. Depois consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 3

Aplicando a padronização ao caso X=3850:
Z=\frac{3850-4000}{120}=\frac{-150}{120}=-1{,}25.
Expliquei cada passo: subtrai a média 4000 de 3850 (dá -150) e divide pelo desvio 120, resultando em -1{,}25.

Passo 4

Agora reescrevemos a probabilidade desejada em termos de Z:
P(X>3850)=P\!\left(Z>\,-1{,}25\right).
Usamos a simetria da normal padrão: P(Z>-a)=P(Z< a). Portanto
P\!\left(Z> -1{,}25\right)=P\!\left(Z<1{,}25\right)=\Phi(1{,}25).

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), o valor da função distribuição acumulada em 1{,}25 é aproximadamente
\Phi(1{,}25)\approx 0{,}89435.
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos 0{,}8944.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de que a resistência compressiva exceda 3850 psi é cerca de 89{,}44\%. Isso significa que, em média, aproximadamente 89{,}44\% dos corpos-de-prova terão resistência maior que 3850 psi.

Resposta

P(X>3850)=0{,}8944

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