Após alguns anos de mudanças no currículo nacional, um teste de Avaliação Nacional do Progresso Educacional (NAEP, sigla em inglês) foi aplicado a uma amostra de 100 mulheres americanas e resultou num valor médio de 275 pontos, com um desvio padrão de 60 pontos. De dados históricos anteriores àquelas mudanças indicam que a tal média era cerca de 265 pontos.
a)Elabore as hipóteses do problema.
b)A partir de um teste de hipóteses, poderíamos concluir que houve algum aumento na média sob estudo a partir dos dados do enunciado? Use nível de significância de 0.01.

Passo 1

Tranquilo, o enunciado é um teste de hipótese para a média \mu de uma população onde temos uma amostra grande de n=100 mulheres, com média amostral \bar X = 275 e desvio padrão amostral s = 60. O valor histórico da média é \mu_0 = 265. Queremos saber, com nível de significância \alpha = 0,01, se há evidência de que a média realmente aumentou após as mudanças no currículo.

Passo 2

Como o interesse é detectar um aumento, a forma clássica das hipóteses é
H_0:\\ \mu = 265
H_1:\\ \mu > 265

Passo 3

Para amostras grandes, usamos a estatística de teste aproximada pela Normal padrão:
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{s / \sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
\bar X - \mu_0 = 275 - 265 = 10,
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{60}{\sqrt{100}} = 6,
então
Z = \frac{10}{6} \approx 1,67.

Passo 4

Para \alpha = 0,01 em um teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = z_{0,99} \approx 2,33.
Como o valor observado Z \approx 1,67 é menor que 2,33, não rejeitamos H_0.

Resposta

a) H_0: \mu = 265,\quad H_1: \mu > 265.
b) Não há evidência estatística (ao nível de 1\%) de que a média tenha aumentado.

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