Uma empresa do ramo petroquímico está avaliando a viscosidade cinemática de um novo fluido hidráulico utilizado em sistemas de alta pressão. A especificação do projeto exige que a viscosidade média a 40^{\circ} \mathrm{C} seja de 32,0 \mathrm{~mm}^{2} / \mathrm{s}, pois variações podem afetar o desempenho do sistema. Para testar a conformidade de um novo lote, uma amostra de \mathrm{n}=12 medições foi coletada em laboratório, com os seguintes resultados ( \mathrm{em} \mathrm{mm}^{2} / \mathrm{s} ): média de 32 e desvio de 0,28.
(b) Aplique um teste adequado ao problema, com nível de significância de 5 \%.
(c) Determine o valor crítico e compare com o calculado.
(d) Apresente graficamente o valor-p associado ao teste.
(e) Interprete o resultado no contexto da engenharia: há evidência estatística de que a viscosidade do lote é diferente da esperada?
x f(x)
1 2
2 4
3 6

Passo 1

O enunciado nos diz que uma amostra de tamanho n=12 de medições de viscosidade cinemática a 40^\circ\mathrm{C} apresentou média \bar x = 32{,}0, \mathrm{mm^2/s} e desvio‐padrão amostral s=0{,}28, \mathrm{mm^2/s}. A especificação exige média igual a 32{,}0, \mathrm{mm^2/s}. Como não sabemos a variância populacional e n é pequeno, vamos usar o teste t de Student para a média, com nível de significância \alpha=0{,}05, e hipótese bilateral.

Passo 2

Definimos as hipóteses
H_0: \mu = 32{,}0 \qquad\text{vs.}\qquad H_1: \mu \neq 32{,}0.
O estatístico de teste é
t \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{\,s/\sqrt{n}\,} \;=\; \frac{32{,}0 - 32{,}0}{0{,}28/\sqrt{12}} \;=\;0.

Passo 3

Como é teste bilateral, com n-1=11 graus de liberdade, o valor crítico é
t_{\alpha/2,\,11} \;=\; t_{0{,}975,\,11} \;\approx\;2{,}201.
A região de rejeição de H_0 é \lvert t\rvert>2{,}201. Como o valor calculado t=0 satisfaz \lvert0\rvert<2{,}201, não rejeitamos H_0.

Passo 4

O valor- p é
p\text{-value} \;=\; 2\,P\bigl(T_{11}\ge |0|\bigr) \;=\; 2\bigl(1 - F_{T_{11}}(0)\bigr) \;=\; 2(1 - 0{,}5) \;=\;1.
Graficamente, na curva da distribuição t_{11}:
|←————— regiões de rejeição (α/2 em cada cauda) —————→|
| | | |
2,20102,201 t
|<-- p-value (área total =1) -->|
a área “mais extrema” do ponto t=0 ocupa toda a distribuição, dando p=1.

Passo 5

No contexto de engenharia, como não rejeitamos H_0 e o p-value é muito alto, não há evidência estatística de que a viscosidade média do lote seja diferente de 32{,}0, \mathrm{mm^2/s}. Isso indica conformidade do lote com a especificação.

Resposta

(b) Estatístico de teste:
t = 0.
(c) Valor crítico:
t_{0{,}975,\,11}\approx 2{,}201 \quad\Longrightarrow\quad \lvert t\rvert<2{,}201 \;\Rightarrow\; \text{não rejeitar }H_0.ã
(d) p-value =1. Graficamente, a curva t_{11} com linhas verticais em \pm2{,}201 mostra que o ponto t=0 está no centro, e as áreas mais extremas somam 1.
(e) Conclusão: não há evidência estatística de que a viscosidade do lote difira de 32{,}0, \mathrm{mm^2/s}; o lote está conforme a especificação.

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