Após coletar dados de um processo, um engenheiro observou que a distribuição do logaritmo neperiano dos dados coletados segue uma distribuição Normal de média 5 e desvio-padrão 1. Seja X a v.a. dos dados originais. Calcule:
F^{-1}(0,50)

Passo 1

O enunciado diz que o logaritmo neperiano dos dados segue uma Normal com média 5 e desvio-padrão 1. Ou seja, se X é a v.a. dos dados originais, então \ln X satisfaz
\ln X \sim N(5,\,1^2).
A pergunta pede o valor de F^{-1}(0,50), onde F é a função distribuição acumulada (CDF) de X. Em outras palavras, queremos o quantil de ordem 0{,}50 da variável X — o número x tal que P(X \le x)=0{,}50.

Passo 2

Vamos escrever a relação entre a CDF de X e a CDF da normal padrão. Para x>0,
F_X(x)=P(X\le x)=P(\ln X \le \ln x).
Como \ln X é Normal com média \mu=5 e desvio \sigma=1, usamos a CDF da normal padrão \Phi (média 0, desvio 1) para obter:
F_X(x)=\Phi\!\bigg(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\bigg)=\Phi\!\big(\ln x - 5\big),
onde explico: \mu=5 é a média de \ln X e \sigma=1 é o desvio-padrão de \ln X. A função \Phi P(Z\le z) para Z\sim N(0,1).

Passo 3

Para encontrar o quantil de ordem p (ou seja F^{-1}(p)), resolvemos
\Phi\!\bigg(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\bigg)=p.
Aplicando a inversa da CDF da normal padrão \Phi^{-1} em ambos os lados obtemos
\frac{\ln x - \mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(p).
Desse modo
\ln x = \mu + \sigma\,\Phi^{-1}(p)
e finalmente
x = \exp\!\big(\mu + \sigma\,\Phi^{-1}(p)\big).
Essa fórmula é a expressão geral para o quantil p da distribuição lognormal quando \ln X\sim N(\mu,\sigma^2).

Passo 4

Agora aplicamos para p=0{,}50. Sabemos que \Phi^{-1}(0{,}50)=0 pela simetria da normal padrão (o valor mediano da normal padrão é 0). Substituindo \mu=5, \sigma=1 e \Phi^{-1}(0{,}50)=0 na fórmula obtemos
x = \exp\!\big(5 + 1\cdot 0\big)=\exp(5).
Isso faz sentido intuitivo: o quantil 0{,}50 (a mediana) de uma lognormal é \exp(\mu). Se quiser uma aproximação numérica,
\exp(5)\approx 148{,}4131591026.

Passo 5

Resumo prático para a prova: sempre que \ln X\sim N(\mu,\sigma^2), o quantil p de X é F^{-1}(p)=\exp\!\big(\mu+\sigma\,\Phi^{-1}(p)\big). Para p=0{,}50, \Phi^{-1}(0{,}50)=0, então a resposta fica só \exp(\mu). Vai dar certo — respira, anota essa fórmula e pratica um ou dois exemplos rápidos.

Resposta

\exp(5)\approx 148{,}4131591026

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