Após coletar dados de um processo, um engenheiro observou que a distribuição do logaritmo neperiano dos dados coletados segue uma distribuição Normal de média 5 e desvio-padrão 1. Seja X a v.a. dos dados originais. Calcule:
Passo 1
O enunciado diz que o logaritmo neperiano dos dados segue uma Normal com média
e desvio-padrão
. Ou seja, se
é a v.a. dos dados originais, então
satisfaz
A pergunta pede o valor de
, onde
é a função distribuição acumulada (CDF) de
. Em outras palavras, queremos o quantil de ordem
da variável
— o número
tal que
.
Passo 2
Vamos escrever a relação entre a CDF de
e a CDF da normal padrão. Para
,
Como
é Normal com média
e desvio
, usamos a CDF da normal padrão
(média
, desvio
) para obter:
onde explico:
é a média de
e
é o desvio-padrão de
. A função
dá
para
.
Passo 3
Para encontrar o quantil de ordem
(ou seja
), resolvemos
Aplicando a inversa da CDF da normal padrão
em ambos os lados obtemos
Desse modo
e finalmente
Essa fórmula é a expressão geral para o quantil
da distribuição lognormal quando
.
Passo 4
Agora aplicamos para
. Sabemos que
pela simetria da normal padrão (o valor mediano da normal padrão é
). Substituindo
,
e
na fórmula obtemos
Isso faz sentido intuitivo: o quantil
(a mediana) de uma lognormal é
. Se quiser uma aproximação numérica,
Passo 5
Resumo prático para a prova: sempre que
, o quantil
de
é
. Para
,
, então a resposta fica só
. Vai dar certo — respira, anota essa fórmula e pratica um ou dois exemplos rápidos.