Após coletar dados de um processo, um engenheiro observou que a distribuição do logaritmo neperiano dos dados coletados segue uma distribuição Normal de média 5 e desvio-padrão 1. Seja X a v.a. dos dados originais. Calcule:
P(400<X<500)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a probabilidade P(400<X<500), sabendo que a variável aleatória dos logs naturais dos dados é Normal com média 5 e desvio-padrão 1. Informações dadas:
  • A variável original é X.
  • A variável transformada Y=\ln X satisfaz Y \sim N(\mu=5,\sigma=1).
  • Quero P(400<X<500).

Passo 2

Vou transformar o evento envolvendo X em um evento envolvendo Y=\ln X. A função y=\ln x é estritamente crescente para x>0, então desigualdades são preservadas. Logo,
P(400<X<500)=P(\ln 400<\ln X<\ln 500).
Isto significa que estou calculando uma probabilidade para uma Normal (pois \ln X é Normal), ou seja, X é uma variável log-normal. A ideia-chave: usar a transformação monotônica \ln para reduzir ao caso normal padrão.

Passo 3

Agora calculo os limites em termos de Y. Uso propriedades dos logaritmos para simplificar o cálculo:
\ln 400=\ln(4\cdot 100)=\ln 4 + \ln 100=\ln 4 + 2\ln 10,
\ln 500=\ln(5\cdot 100)=\ln 5 + 2\ln 10.
Vou usar aproximações conhecidas:
\ln 2 \approx 0,69314718,\quad \ln 5 \approx 1,60943791,\quad \ln 10 \approx 2,30258509.
Portanto
\ln 4=2\ln 2 \approx 2\cdot 0,69314718=1,38629436,
\ln 400 \approx 1,38629436 + 2\cdot 2,30258509 = 1,38629436 + 4,60517018 = 5,99146454,
\ln 500 \approx 1,60943791 + 4,60517018 = 6,21460809.

Passo 4

Como Y=\ln X\sim N(5,1), vou padronizar Y para usar a tabela da Normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é a fórmula
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio-padrão. Aqui \mu=5 e \sigma=1. Então os escores z correspondentes são
z_1=\frac{\ln 400-5}{1}\approx 5,99146454-5=0,99146454,
z_2=\frac{\ln 500-5}{1}\approx 6,21460809-5=1,21460809.
Assim
P(400<X<500)=P(0,99146454<Z<1,21460809)=\Phi(1,21460809)-\Phi(0,99146454),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 5

Agora preciso dos valores da tabela da Normal padrão (ou de uma calculadora). Vou interpolar nas tabelas:
  • Para z\approx 0,9915 temos \Phi(0,9915)\approx 0,8393.
  • Para z\approx 1,2146 temos \Phi(1,2146)\approx 0,8878.
(Se você usar uma calculadora/PC obterá valores mais precisos: \Phi(0,99146454)\approx 0,83924 e \Phi(1,21460809)\approx 0,88776.)
Subtraindo:
P(400<X<500)\approx 0,8878-0,8393=0,0485.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de a observação original X cair entre 400 e 500 é cerca de 0,0485, ou seja, aproximadamente 4,85\%. Força aí nos estudos — transformações log e padronização são ferramentas que aparecem sempre em provas; treina algumas vezes que pega rápido!

Resposta

0,0485

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