Após coletar dados de um processo, um engenheiro observou que a distribuição do logaritmo neperiano dos dados coletados segue uma distribuição Normal de média 5 e desvio-padrão 1. Seja X a v.a. dos dados originais. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a probabilidade
, sabendo que a variável aleatória dos logs naturais dos dados é Normal com média
e desvio-padrão
. Informações dadas:
- A variável original é
. - A variável transformada
satisfaz . - Quero
.
Passo 2
Vou transformar o evento envolvendo
em um evento envolvendo
. A função
é estritamente crescente para
, então desigualdades são preservadas. Logo,
Isto significa que estou calculando uma probabilidade para uma Normal (pois
é Normal), ou seja,
é uma variável log-normal. A ideia-chave: usar a transformação monotônica
para reduzir ao caso normal padrão.
Passo 3
Agora calculo os limites em termos de
. Uso propriedades dos logaritmos para simplificar o cálculo:
Vou usar aproximações conhecidas:
Portanto
Passo 4
Como
, vou padronizar
para usar a tabela da Normal padrão
. A padronização é a fórmula
onde
é a média e
o desvio-padrão. Aqui
e
. Então os escores
correspondentes são
Assim
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Passo 5
Agora preciso dos valores da tabela da Normal padrão (ou de uma calculadora). Vou interpolar nas tabelas:
- Para
temos . - Para
temos .
(Se você usar uma calculadora/PC obterá valores mais precisos:
e
.)
Subtraindo:
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de a observação original
cair entre
e
é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Força aí nos estudos — transformações log e padronização são ferramentas que aparecem sempre em provas; treina algumas vezes que pega rápido!